一個關於階乘的恆等式

本文的閱讀等級:初級

這篇短文證明一個關於階乘的恆等式:對於所有的非負整數 n 和實數 x

\displaystyle  \sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}(x-i)^n=n!

上式可用於證明:對於任何一個 r (r<n) 次多項式 p(i)

\displaystyle  \sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}p(i)=0

 

\displaystyle  f_n(x)=\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}(x-i)^n

我們的目標要證明 f_n(x)=n!。使用數學歸納法。當 n=0f_0(x)=\binom{0}{0}=1=0!。假設對於任一實數 xf_k(x)=k!。計算 f_{k+1} 的導數,

\displaystyle\begin{aligned}  f'_{k+1}(x)&=\frac{d}{dx}\left(\sum_{i=0}^{k+1}(-1)^i\binom{k+1}{i}(x-i)^{k+1}\right)\\  &=(k+1)\sum_{i=0}^{k+1}(-1)^i\binom{k+1}{i}(x-i)^{k}.  \end{aligned}

使用帕斯卡 (Pascal) 法則 (見“二項式係數與組合問題”),

\displaystyle  \binom{k+1}{i}=\binom{k}{i}+\binom{k}{i-1}

可得

\displaystyle  \begin{aligned}  f'_{k+1}(x)&=(k+1)\left(\sum_{i=0}^k(-1)^i\binom{k}{i}(x-i)^k+\sum_{i=1}^k(-1)^i\binom{k}{i-1}(x-i)^k+(-1)^{k+1}(x-k-1)^k\right)\\  &=(k+1)\left(\sum_{i=0}^k(-1)^i\binom{k}{i}(x-i)^k-\sum_{j=0}^k(-1)^{j}\binom{k}{j}(x-j-1)^k\right)\\  &=(k+1)\left(f_k(x)-f_k(x-1)\right)\\  &=(k+1)(k!-k!)=0,  \end{aligned}

其中 j=i-1。上式表明 f'_{k+1}(x) 是一常數,可設 f_{k+1}(x)=f_{k+1}(k+1),化簡如下:

\displaystyle\begin{aligned}  f_{k+1}(x)&=\sum_{i=0}^{k+1}(-1)^i\binom{k+1}{i}(k+1-i)^{k+1}\\  &=\sum_{i=0}^{k}(-1)^i\frac{(k+1)!(k+1-i)}{i!(k+1-i)!}(k+1-i)^{k}\\  &=(k+1)\sum_{i=0}^{k}(-1)^i\binom{k}{i}(k+1-i)^{k}\\  &=(k+1)f_k(k+1)\\  &=(k+1)k!=(k+1)!,  \end{aligned}

即得證。

 
接著討論上述恆等式的一個推論。考慮

\displaystyle  f_n(x)=\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}(x-i)^n=n!

f_n(x)j 次導數,

\displaystyle  f_n^{(j)}(x)=n(n-1)\cdots(n-(j-1))\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}(x-i)^{n-j}=0

因此,對於所有的正整數 n 和實數 x

\displaystyle  \sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}(x-i)^{n-j}=0,~~1\le j\le n

特別地,設 x=0,則

\displaystyle  \sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}i^{n-j}=0,~~1\le j\le n

對於多項式 p(i)=c_ri^r+\cdots+c_1r+c_0r<n,使用上式,

\displaystyle\begin{aligned}  \sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}p(i)&=\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}(c_ri^r+\cdots+c_1i+c_0)\\  &=\sum_{j=n-r}^nc_{n-j}\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}i^{n-j}=0.  \end{aligned}

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