每週問題 October 26, 2015

證明若 \hbox{rank}(AB-BA)=1,則 (AB-BA)^2=0

Let A and B be n\times n matrices such that \hbox{rank}(AB-BA)=1. Show that (AB-BA)^2=0.

 
參考解答:

證明1:因為 \hbox{rank}(AB-BA)=1,設 AB-BA=\mathbf{u}\mathbf{v}^T,其中 \mathbf{u}\mathbf{v}n 維非零向量。使用跡數循環不變性,

\begin{aligned}  \mathbf{v}^T\mathbf{u}&=\hbox{trace}(\mathbf{v}^T\mathbf{u})=\hbox{trace}(\mathbf{u}\mathbf{v}^T)=\hbox{trace}(AB-BA)\\  &=\hbox{trace}(AB)-\hbox{trace}(BA)=0.  \end{aligned}

所以,(AB-BA)^2=\mathbf{u}\mathbf{v}^T\mathbf{u}\mathbf{v}^T=0

證明2:使用此性質:矩陣秩大於或等於非零特徵值數,從 \hbox{rank}(AB-BA)=1\hbox{trace}(AB-BA)=0 可推斷 AB-BA 的特徵值皆為零。考慮 Jordan 形式 AB-BA=SJS^{-1},因為 \hbox{rank}(AB-BA)=\hbox{rank}J=1,Jordan 矩陣為

J=\begin{bmatrix}  0&1&\cdots&0\\  0 &0&\cdots&0\\  \vdots &\vdots & \ddots&0\\  0 & 0& \cdots& 0  \end{bmatrix}

因此,(AB-BA)^2=SJ^2S^{-1}=S0S^{-1}=0

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3 Responses to 每週問題 October 26, 2015

  1. Peter Chan 說道:

    wonderful proof

  2. 郑育强 說道:

    谢谢老师了,比我自己的证明漂亮多了。

  3. ccjou 說道:

    另外補充一個使用 Jordan form 的證明。

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