每週問題 November 2, 2015

證明 I-ABI-BA 有相同的矩陣秩。

Let A and B be n\times n matrices. Show that \hbox{rank}(I-AB)=\hbox{rank}(I-BA).

參考解答:

考慮分塊矩陣乘法

\begin{bmatrix}  I&-A\\  0&I  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  I&A\\  B&I  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  I&0\\  -B&I  \end{bmatrix}=  \begin{bmatrix}  I-AB&0\\  B&I  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  I&0\\  -B&I  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  I-AB&0\\  0&I  \end{bmatrix}

以及

\begin{bmatrix}  I&0\\  -B&I  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  I&A\\  B&I  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  I&-A\\  0&I  \end{bmatrix}=  \begin{bmatrix}  I&A\\  0&I-BA  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  I&-A\\  0&I  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  I&0\\  0&I-BA  \end{bmatrix}

可逆矩陣與任一矩陣相乘不改變後者的矩陣秩,故

\hbox{rank}\begin{bmatrix}  I-AB&0\\  0&I  \end{bmatrix}=\hbox{rank}\begin{bmatrix}  I&A\\  B&I  \end{bmatrix}=\hbox{rank}\begin{bmatrix}  I&0\\  0&I-BA  \end{bmatrix}

即證明 \hbox{rank}(I-AB)=\hbox{rank}(I-BA)

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