## 每週問題 November 2, 2015

Let $A$ and $B$ be $n\times n$ matrices. Show that $\hbox{rank}(I-AB)=\hbox{rank}(I-BA)$.

$\begin{bmatrix} I&-A\\ 0&I \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I&A\\ B&I \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I&0\\ -B&I \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} I-AB&0\\ B&I \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I&0\\ -B&I \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I-AB&0\\ 0&I \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} I&0\\ -B&I \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I&A\\ B&I \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I&-A\\ 0&I \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} I&A\\ 0&I-BA \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I&-A\\ 0&I \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I&0\\ 0&I-BA \end{bmatrix}$

$\hbox{rank}\begin{bmatrix} I-AB&0\\ 0&I \end{bmatrix}=\hbox{rank}\begin{bmatrix} I&A\\ B&I \end{bmatrix}=\hbox{rank}\begin{bmatrix} I&0\\ 0&I-BA \end{bmatrix}$

### One Response to 每週問題 November 2, 2015

1. Reblogged this on 鮑威宇的個人博客.