答erofish──關於 Gramian 行列式不為零的充要條件

網友erofish留言:

老师您好!非常喜欢您在博客上讲述的与线代有关的知识。最近学习数值分析的课程遇到了 Gram 矩阵,书上仅仅从内积空间的4个性质 (正定,齐次,分配,交换) 就证明了 Gram 矩阵行列式不为 0 的充要条件是 \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_n 线性无关。我自己做推导却怎么也推不出来。不知道您能否在这篇博文 (見“特殊矩陣 (14):Gramian 矩陣”) 里面讲的更加详细一点,谢谢!

 
答曰:

\mathcal{V} 為一個複內積空間,且 \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_n\mathcal{V}n 個向量。我們以 \left\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j\right\rangle 表示 \mathbf{v}_i\mathbf{v}_j 的內積。下列 n\times n 階矩陣稱為 Gramian 矩陣:

\displaystyle  G=\begin{bmatrix}  \left\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_1\right\rangle&\left\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\right\rangle&\cdots&\left\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_n\right\rangle\\  \left\langle\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_1\right\rangle&\left\langle\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_2\right\rangle&\cdots&\left\langle\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_n\right\rangle\\  \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\  \left\langle\mathbf{v}_n,\mathbf{v}_1\right\rangle&\left\langle\mathbf{v}_n,\mathbf{v}_2\right\rangle&\cdots&\left\langle\mathbf{v}_n,\mathbf{v}_n\right\rangle  \end{bmatrix}

因為 \left\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_i\right\rangle\ge 0\left\langle\mathbf{v}_j,\mathbf{v}_i\right\rangle=\overline{\left\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j\right\rangle} (見“內積的定義”),可知 G^\ast=G,也就是說 Gramian 矩陣為 Hermitian 矩陣。我們的問題要證明 Gramian 行列式 \det G\neq 0 的一個充要條件為 \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_n\} 是一組線性無關集。

 
首先討論向量內積所構造的 Gramian 矩陣的一個重要用途。令 \mathbf{u}=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\mathbf{v}_n\mathbf{w}=d_1\mathbf{v}_1+\cdots+d_n\mathbf{v}_n。使用內積性質,

\displaystyle\begin{aligned}  \left\langle\mathbf{u},\mathbf{w}\right\rangle&=\left\langle c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\mathbf{v}_n,d_1\mathbf{v}_1+\cdots+d_n\mathbf{v}_n\right\rangle\\  &=\left\langle c_1\mathbf{v}_1,d_1\mathbf{v}_1+\cdots+d_n\mathbf{v}_n\right\rangle+\cdots+\left\langle c_n\mathbf{v}_n,d_1\mathbf{v}_1+\cdots+d_n\mathbf{v}_n\right\rangle\\  &=\overline{c_1}\left\langle \mathbf{v}_1,d_1\mathbf{v}_1+\cdots+d_n\mathbf{v}_n\right\rangle+\cdots+\overline{c_n}\left\langle \mathbf{v}_n,d_1\mathbf{v}_1+\cdots+d_n\mathbf{v}_n\right\rangle\\  &=\overline{c_1}\left(\left\langle \mathbf{v}_1,d_1\mathbf{v}_1\right\rangle+\cdots+\left\langle \mathbf{v}_1,d_n\mathbf{v}_n\right\rangle\right)+\cdots+\overline{c_n}\left(\left\langle \mathbf{v}_n,d_1\mathbf{v}_1\right\rangle+\cdots+\left\langle \mathbf{v}_n,d_n\mathbf{v}_n\right\rangle\right)\\  &=\overline{c_1}\left(d_1\left\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_1\right\rangle+\cdots+d_n\left\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_n\right\rangle\right)+\cdots+\overline{c_n}\left(d_1\left\langle \mathbf{v}_n,\mathbf{v}_1\right\rangle+\cdots+d_n\left\langle \mathbf{v}_n,\mathbf{v}_n\right\rangle\right)\\  &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\overline{c_i}d_j\left\langle \mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j\right\rangle \\  &=\begin{bmatrix}  \overline{c_1}&\cdots&\overline{c_n}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  \left\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_1\right\rangle&\cdots&\left\langle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_n\right\rangle\\  \vdots&\ddots&\vdots\\  \left\langle \mathbf{v}_n,\mathbf{v}_1\right\rangle&\cdots&\left\langle \mathbf{v}_n,\mathbf{v}_n\right\rangle  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  d_1\\  \vdots\\  d_n  \end{bmatrix}\\  &=\mathbf{c}^\ast G\mathbf{d},\end{aligned}

其中 \mathbf{c}=(c_1,\ldots,c_n)^T\mathbf{d}=(d_1,\ldots,d_n)^T 屬於 \mathbb{C}^n。上式說明 \mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n 的任兩個線性組合的內積可通過組合係數與 Gramian 矩陣來表達。根據向量內積的 Gramian 矩陣算式,下面介紹兩個證明方法。

 
第一個證法使用二次型。寫出

\displaystyle  \Vert\mathbf{u}\Vert^2=\left\langle\mathbf{u},\mathbf{u}\right\rangle=\mathbf{c}^\ast G\mathbf{c}\ge 0

表明 G 是半正定矩陣。再者,G 是可逆矩陣,即 \det G\neq 0,等價於 G 是正定矩陣,因為正定矩陣的特徵值皆為正數 (見“正定矩陣的性質與判別方法”)。根據定義,G 是正定矩陣若每一個非零向量 \mathbf{c} 滿足 \mathbf{c}^\ast G\mathbf{c}>0,亦即 \mathbf{u}=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\mathbf{v}_n\neq \mathbf{0},換句話說,\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} 是一個線性無關集 (否則存在不全為零的數組 c_1,\ldots,c_n 使得 \mathbf{u}=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\mathbf{v}_n=\mathbf{0})。

 
第二個證法使用零空間 (nullspace)。考慮線性變換 T:\mathbb{C}^n\to\mathcal{V},定義如下:

\displaystyle  T(\mathbf{c})=T(c_1,\ldots,c_n)=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\mathbf{v}_n

我們可以證明 Gramian 矩陣 G 的零空間 N(G) 等於 T 的零空間 (或稱核,kernel) N(T)。因為 G 是可逆矩陣的一個充要條件為 N(G)=\{\mathbf{0}\},即 N(T)=\{\mathbf{0}\},而後者又等價於 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} 為線性無關集,故得證。底下證明 N(G)=N(T)。假設 \mathbf{c}\in N(G),即 G\mathbf{c}=\mathbf{0}。計算

\displaystyle\begin{aligned}  \Vert T(\mathbf{c})\Vert^2&=\left\langle T(\mathbf{c}),T(\mathbf{c})\right\rangle\\  &=\left\langle c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\mathbf{v}_n,c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\mathbf{v}_n\right\rangle\\  &=\mathbf{c}^\ast G\mathbf{c}=\mathbf{c}^\ast\mathbf{0}=0,\end{aligned}

T(\mathbf{c})=\mathbf{0}\mathbf{c}\in N(T)。因此,N(G)\subseteq N(T)。假設 \mathbf{c}\in N(T),即 T(\mathbf{c})=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\mathbf{v}_n=\mathbf{0}。對於 i=1,\ldots,n

\displaystyle\begin{aligned}  c_1\left\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_1\right\rangle+\cdots+c_n\left\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_n\right\rangle  &=\left\langle\mathbf{v}_i,c_1\mathbf{v}_1\right\rangle+\cdots+\left\langle\mathbf{v}_i,c_n\mathbf{v}_n\right\rangle\\  &=\left\langle\mathbf{v}_i,c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_n\mathbf{v}_n\right\rangle\\  &=\left\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{0}\right\rangle=0,  \end{aligned}

也就是說,G\mathbf{c}=\mathbf{0}\mathbf{c}\in N(G)。因此,N(T)\subseteq N(G)

 
如果 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} 是一個線性無關集,則 Gramian 矩陣 G=[\left\langle\mathbf{v}_i,\mathbf{v}_j\right\rangle] 是 Hermitian 正定矩陣。對於 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{C}^n,我們可以定義內積運算

\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle=\mathbf{x}^\ast G\mathbf{y}

稱為橢圓內積 (elliptical inner product),此名稱的由來係因 \mathbf{x}^\ast G\mathbf{x}=1 的軌跡為一個橢球 (ellipsoid)。很容易驗證橢圓內積滿足內積空間的四個公設:對於 \mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\in\mathbb{C}^nc\in\mathbb{C}

  1. \left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle=\mathbf{x}^\ast G\mathbf{y}=\overline{(\mathbf{x}^\ast G\mathbf{y})^\ast}=\overline{\mathbf{y}^\ast G\mathbf{x}}=\overline{\left\langle\mathbf{y},\mathbf{x}\right\rangle}
  2. \left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}+\mathbf{z}\right\rangle=\mathbf{x}^\ast G(\mathbf{y}+\mathbf{z})=\mathbf{x}^\ast (G\mathbf{y}+G\mathbf{z})=\mathbf{x}^\ast G\mathbf{y}+\mathbf{x}^\ast G\mathbf{z}=\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle+\left\langle\mathbf{x},\mathbf{z}\right\rangle
  3. \left\langle\mathbf{x},c\mathbf{y}\right\rangle=\mathbf{x}^\ast G(c\mathbf{y})=\mathbf{x}^\ast (cG\mathbf{y})=c\mathbf{x}^\ast G\mathbf{y}=c\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle
  4. \left\langle\mathbf{x},\mathbf{x}\right\rangle=\mathbf{x}^\ast G\mathbf{x}\ge 0,且 \mathbf{x}^\ast G\mathbf{x}=0 惟當 \mathbf{x}=\mathbf{0}
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2 則回應給 答erofish──關於 Gramian 行列式不為零的充要條件

  1. erofish 說道:

    明白了!没想到老师回答得这么快这么详细,谢谢老师。

  2. Meiyue Shao 說道:

    可以从“形式上”把 G 记成 G=[v_1,\dotsc,v_n]^*[v_1,\dotsc,v_n], 这样便于理解和记忆。

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