每週問題 November 16, 2015

證明 I-AB, I-A, I-B 的矩陣秩關係。

Let A and B be n\times n matrices. Show that

\hbox{rank}(I-AB)\le \hbox{rank}(I-A)+\hbox{rank}(I-B).

 
參考解答:

考慮分塊矩陣乘法

\begin{bmatrix}  I&-A\\  0&I  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  I&A\\  B&I  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  I&0\\  -B&I  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  I-AB&0\\  0&I  \end{bmatrix}

推得

\begin{aligned}  \hbox{rank}\begin{bmatrix}  I&A\\  B&I  \end{bmatrix}&=\hbox{rank}\begin{bmatrix}  I-AB&0\\  0&I  \end{bmatrix}\\  &=\hbox{rank}(I-AB)+\hbox{rank}I\\  &=\hbox{rank}(I-AB)+n.\end{aligned}

上式中,以 I 取代 B,則有 \hbox{rank}\begin{bmatrix}  I&A\\\  I&I  \end{bmatrix}=\hbox{rank}(I-A)+n。另一方面,使用 \hbox{rank}(X+Y)\le\hbox{rank}X+\hbox{rank}Y,可得

\begin{aligned}  \hbox{rank}\begin{bmatrix}  I&A\\  B&I  \end{bmatrix}&=\hbox{rank}\left(\begin{bmatrix}  I&A\\  I&I  \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}  0&0\\  B-I&0  \end{bmatrix}\right)\\  &\le \hbox{rank}\begin{bmatrix}  I&A\\  I&I  \end{bmatrix}+\hbox{rank}\begin{bmatrix}  0&0\\  B-I&0  \end{bmatrix}\\  &=\hbox{rank}(I-A)+n+\hbox{rank}(I-B).  \end{aligned}

合併上面兩式即證明所求。

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2 Responses to 每週問題 November 16, 2015

  1. Meiyue Shao 說道:

    第二部分的另一种方法(其实也是类似的,不过想法更直接):
    \mathrm{rank}\begin{bmatrix}I&A\\B&I\end{bmatrix} =\mathrm{rank}\begin{bmatrix}I-A&A\\B-I&I\end{bmatrix} \leq\mathrm{rank}\begin{bmatrix}I-A\\B-I\end{bmatrix} +\mathrm{rank}\begin{bmatrix}A\\I\end{bmatrix} \leq\mathrm{rank}(I-A)+\mathrm{rank}(B-I)+n.

  2. Peter Chan 說道:

    wonderful

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