## 每週問題 November 16, 2015

Let $A$ and $B$ be $n\times n$ matrices. Show that

$\hbox{rank}(I-AB)\le \hbox{rank}(I-A)+\hbox{rank}(I-B)$.

$\begin{bmatrix} I&-A\\ 0&I \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I&A\\ B&I \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I&0\\ -B&I \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I-AB&0\\ 0&I \end{bmatrix}$

\begin{aligned} \hbox{rank}\begin{bmatrix} I&A\\ B&I \end{bmatrix}&=\hbox{rank}\begin{bmatrix} I-AB&0\\ 0&I \end{bmatrix}\\ &=\hbox{rank}(I-AB)+\hbox{rank}I\\ &=\hbox{rank}(I-AB)+n.\end{aligned}

\begin{aligned} \hbox{rank}\begin{bmatrix} I&A\\ B&I \end{bmatrix}&=\hbox{rank}\left(\begin{bmatrix} I&A\\ I&I \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0&0\\ B-I&0 \end{bmatrix}\right)\\ &\le \hbox{rank}\begin{bmatrix} I&A\\ I&I \end{bmatrix}+\hbox{rank}\begin{bmatrix} 0&0\\ B-I&0 \end{bmatrix}\\ &=\hbox{rank}(I-A)+n+\hbox{rank}(I-B). \end{aligned}

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### 2 則回應給 每週問題 November 16, 2015

1. Meiyue Shao 說：

第二部分的另一种方法（其实也是类似的，不过想法更直接）：
$\mathrm{rank}\begin{bmatrix}I&A\\B&I\end{bmatrix} =\mathrm{rank}\begin{bmatrix}I-A&A\\B-I&I\end{bmatrix} \leq\mathrm{rank}\begin{bmatrix}I-A\\B-I\end{bmatrix} +\mathrm{rank}\begin{bmatrix}A\\I\end{bmatrix} \leq\mathrm{rank}(I-A)+\mathrm{rank}(B-I)+n$.

2. Peter Chan 說：

wonderful