每週問題 November 23, 2015

證明實正交投影矩陣的主對角元性質。

Let P=[p_{ij}] be an n\times n real orthogonal projection matrix, i.e., P^T=P=P^2. Show that 0\le p_{ii}\le 1 for all i, and \sum_{i=1}^np_{ii}=\hbox{rank}P.

 
參考解答:

\lambdan\times n 階正交投影矩陣 P 的一個特徵值。因為 P^2=P,可知 \lambda^2=\lambda,即 \lambda=1\lambda=0。下面提供三個 0\le p_{ii}\le 1i=1,\ldots,n,的證明。

證明1. 因為 P^T=PP 的特徵值皆不為負數,可知 P 是實對稱半正定矩陣。因此,p_{ii}=\mathbf{e}_i^TP\mathbf{e}_i\ge 0,其中 \mathbf{e}_i 是第 i 個標準單位向量。利用 Schwarz 不等式與正交投影性質 \Vert P\mathbf{e}_i\Vert\le \Vert \mathbf{e}_i\Vert

\displaystyle  \vert p_{ii}\vert=\vert \mathbf{e}_i^T(P\mathbf{e}_i)\vert\le\Vert\mathbf{e}_i\Vert\cdot\Vert P\mathbf{e}_i\Vert\le \Vert\mathbf{e}_i\Vert^2=1

因此,0\le p_{ii}\le 1i=1,\ldots,n

證明2. 使用矩陣乘法:

\displaystyle  p_{ii}=\sum_{j=1}^np_{ij}p_{ji}=\sum_{j=1}^np_{ij}^2=p_{ii}^2+\sum_{j\neq i}p_{ij}^2\ge 0,~~i=1,\ldots,n

並有 p_{ii}\ge p_{ii}^2,故得 p_{ii}\le 1

證明3. 使用 Rayleigh 定理,

\displaystyle  \lambda_{\min}=\min_{\mathbf{x}\neq\mathbf{0}}\frac{\mathbf{x}^TP\mathbf{x}}{\mathbf{x}^T\mathbf{x}}, ~~\lambda_{\max}=\max_{\mathbf{x}\neq\mathbf{0}}\frac{\mathbf{x}^TP\mathbf{x}}{\mathbf{x}^T\mathbf{x}}

其中 \lambda_{\min}\lambda_{\max} 分別是 P 的最小與最大特徵值。對於 i=1,\ldots,n

\displaystyle  0\le\frac{\mathbf{e}_i^TP\mathbf{e}_i}{\mathbf{e}_i^T\mathbf{e}_i}\le 1

0\le p_{ii}\le 1

證明4. 使用 Cauchy 交錯特徵值定理,寫出 P=\begin{bmatrix}  A&B\\  B^T&C  \end{bmatrix},其中 Am\times m 階主子陣,則

\displaystyle  \lambda_{j+n-m}(P)\le\lambda_j(A)\le\lambda_j(P),~~j=1,\ldots,m

m=1\lambda_n(P)\le\lambda_1(A)\le\lambda_1(P),即 0\le p_{11}\le 1。對於每一 i=2,3,\ldots,n,存在一排列 (permutation) 矩陣 SS^T=S^{-1},使得 (SPS^T)_{11}=p_{ii}。因為 SPS^T 相似於 P,兩矩陣有相同的特徵值。再者,SPS^T 是正交投影矩陣,故 0\le (SPS^T)_{11}\le 1,即 0\le p_{ii}\le 1

 
因為 P 是實對稱矩陣,故可正交對角化為

P=Q\begin{bmatrix}  I_r&0\\  0&0  \end{bmatrix}Q^T

其中 r=\text{rank}P,且 Q 是實正交 (orthogonal) 矩陣,Q^T=Q^{-1}。對角矩陣 \begin{bmatrix}  I_r&0\\  0&0  \end{bmatrix} 相似於 P,推得

\displaystyle  r=\hbox{trace}\begin{bmatrix}  I_r&0\\  0&0  \end{bmatrix}=\hbox{trace}P=\sum_{i=1}^np_{ii}

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5 則回應給 每週問題 November 23, 2015

  1. Peter Chan 說:

    請多發表關於partitioning matrix, its application.

    • ccjou 說:

      過去其實已經登了不少partition (block) matrix,請點選標籤雲的"分塊矩陣",或剪下貼入搜尋框查找。

  2. Meiyue Shao 說:

    Cauchy 交错定理也可以用在这里,只不过这个工具相对高级一些。

    • ccjou 說:

      你是指Rayleigh-Ritz定理吧?我添加了使用這個定理的證明。Cauchy 交錯定理要麻煩些。

      • Meiyue Shao 說:

        Cauchy 交错定理有多种形式,有一种形式是 Poincare 隔离定理,这样就不用显式做排列了。当然这些工具的本质都是一样的,想到去用哪一个基本上是在看到问题的一瞬间的条件反射决定的。

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