每週問題 November 30, 2015

A 同時是 B 的左逆與右逆,則 AB 是同階方陣。

If A and B are two matrices such that AB=I_m and BA=I_n, show that m=n.

 
參考解答:

證明1:令 Am\times n 階矩陣,Bn\times m 階矩陣。因為 AB=I_m\hbox{rank}(AB)=\hbox{rank}I_m=m。使用矩陣秩性質,\hbox{rank}(AB)\le\hbox{rank}B\le\min\{m,n\},推知 m\le n。另一方面,因為 BA=I_n\hbox{rank}(BA)=\hbox{rank}I_n=n。使用 \hbox{rank}(BA)\le\hbox{rank}A\le\min\{m,n\} 可得 n\le m。合併以上結果證明 m=n

證明2:使用跡數循環不變性 \hbox{trace}(AB)=\hbox{trace}(BA),可得 \hbox{trace}(I_m)=\hbox{trace}(I_n),即 m=n

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1 則回應給 每週問題 November 30, 2015

  1. 因为搜 Procustes problem,看到了老师的博客。写的非常好,继续关注。。希望有机会向您请教。

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