每週問題 December 7, 2015

證明分塊上三角矩陣的秩不等式。

Let A and B be n\times n matrices. Show that for any n\times n matrix X,

\hbox{rank}\begin{bmatrix} A&X\\ 0&B \end{bmatrix}\ge\hbox{rank}A+\hbox{rank}B.

 
參考解答:

寫出 AB 的等價標準型 PAQ=\begin{bmatrix} I_r&0\\ 0&0 \end{bmatrix}P'BQ'=\begin{bmatrix} I_s&0\\ 0&0 \end{bmatrix},其中 P,Q,P',Q'n\times n 階可逆矩陣,r=\hbox{rank}As=\hbox{rank}B。考慮分塊矩陣乘法,

\begin{aligned} \begin{bmatrix} P&0\\ 0&P' \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A&X\\ 0&B \end{bmatrix}\begin{bmatrix} Q&0\\ 0&Q' \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} PAQ&PXQ'\\ 0&P'BQ' \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} I_r&0&Y_{11}&Y_{12}\\ 0&0&Y_{21}&Y_{22}\\ 0&0&I_s&0\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix},\end{aligned}

其中 Y_{11},Y_{12},Y_{21},Y_{22}PXQ' 的四個分塊 (Y_{11}r\times s 階)。利用基本列運算 (row operation) 化簡,可得列梯形式:

\begin{bmatrix} I_r&0&Y_{11}&Y_{12}\\ 0&0&Y_{21}&Y_{22}\\ 0&0&I_s&0\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} I_r&0&0&Y_{12}\\ 0&0&I_s&0\\ 0&0&0&Y_{22}\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}

以上矩陣乘法以及列運算皆不改變矩陣秩,即有

\hbox{rank}\begin{bmatrix} A&X\\ 0&B \end{bmatrix}=r+s+\hbox{rank}Y_{22}\ge \hbox{rank}A+\hbox{rank}B

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4 則回應給 每週問題 December 7, 2015

  1. Peter Chan 說:

    wonderful proof

  2. 郑育强 說:

    老师,倒数第二个公式似乎打错了,左边应该没有 Y_{12} 的。

    • 郑育强 說:

      是右边,打错了。

    • ccjou 說:

      WordPress的LaTeX語法在$Y_{12}$的第一個$後面加上latex和一個空格。

      我使用的是row(橫的)運算,大陸稱作行運算。我們可以繼續用column(直的)運算將 Y_{12} 消去,不過前者已經產生梯形,從軸(pivot)的數目足以判斷矩陣的秩。

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