每週問題 December 14, 2015

這是可交換矩陣的秩不等式證明問題。

Let A and B be n\times n matrices. If AB=BA, show that

\hbox{rank}(A+B)\le\hbox{rank}A+\hbox{rank}B-\hbox{rank}(AB).

 
參考解答:

證明1. 令 C(X) 表示矩陣 X 的行空間 (column space)。根據定義,

\begin{aligned}  C(A+B)&=\{A\mathbf{x}+B\mathbf{x}\vert\mathbf{x}\in\mathbb{C}^n\}\\  &\subseteq \{A\mathbf{x}\vert\mathbf{x}\in\mathbb{C}^n\}+\{B\mathbf{x}\vert\mathbf{x}\in\mathbb{C}^n\}\\  &=C(A)+C(B).\end{aligned}

使用容斥定理,

\begin{aligned}  \dim C(A+B)&\le \dim (C(A)+C(B))\\  &=\dim C(A)+\dim C(B)-\dim (C(A)\cap C(B)),  \end{aligned}

\hbox{rank}(A+B)\le \hbox{rank}A+\hbox{rank}B-\dim (C(A)\cap C(B))

寫出 B 的行向量表達式 B=\begin{bmatrix}  \mathbf{b}_1&\cdots&\mathbf{b}_n  \end{bmatrix},就有 AB=\begin{bmatrix}  A\mathbf{b}_1&\cdots&A\mathbf{b}_n  \end{bmatrix}。因為每一 A\mathbf{b}_i\in C(A),可知 C(AB)\subseteq C(A)。同樣道理,C(BA)\subseteq C(B)。但 AB=BA,推得 C(AB)\subseteq C(A)\cap C(B),因此

\hbox{rank}(AB)\le \dim (C(A)\cap C(B))

合併上面兩個不等式即得證。

 
證明2. 考慮分塊矩陣乘法

\begin{bmatrix}  I&I\\  0&I  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  A&0\\  0&B  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  -B&I\\  A&I  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  AB-BA&A+B\\  BA&B  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  0&A+B\\  AB&B  \end{bmatrix}

上面使用了 AB=BA。因為矩陣乘法不會增大秩,

\begin{aligned}  \hbox{rank}A+\hbox{rank}B&=\hbox{rank}\begin{bmatrix}  A&0\\  0&B  \end{bmatrix}\\  &\ge \hbox{rank}\begin{bmatrix}  0&A+B\\  AB&B  \end{bmatrix}\\  &\ge\hbox{rank}(A+B)+\hbox{rank}(AB),\end{aligned}

即得證。

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2 則回應給 每週問題 December 14, 2015

  1. Meiyue Shao 說:

    利用矩阵乘法 \begin{bmatrix} I & I \\ 0 & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -B & I \\ A & I \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 & A+B \\ AB & B \end{bmatrix} 可以得到另一个证明

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