交換子的充要條件

本文的閱讀等級:中級

C 為一 n\times n 階矩陣。我們稱 C 為交換子 (commutator),如果存在 n\times n 階矩陣 AB 使得 C=AB-BA (見“交換子與可交換矩陣”)。判定方陣 C 是否為交換子的方法非常簡單:C 為交換子的一個充要條件是 \hbox{trace}\,C=0。例如,單位矩陣 I_n 不是交換子,因為 \hbox{trace}\,I_n=n>0。若 C 為交換子,使用跡數循環不變性 (見“跡數的性質與應用”),可得

\hbox{trace}\,C=\hbox{trace}(AB-BA)=\hbox{trace}(AB)-\hbox{trace}(BA)=0

下面證明:若 \hbox{trace}\,C=0,則 C 是一個交換子。證明包含三個部分,分述於下。

 
(1) 若 n\times n 階矩陣 C 滿足 \hbox{trace}\,C=0,則存在一可逆矩陣 P 使得 P^{-1}CP 的所有主對角元為零。

使用歸納法證明。當 n=1,命題顯然成立。假設當 n=k 時命題成立。考慮 (k+1)\times(k+1) 階矩陣 C\hbox{trace}\,C=0。設非零向量 \mathbf{v}\in\mathbb{C}^{k+1} 使得 \{\mathbf{v},C\mathbf{v}\} 為線性獨立集,也就是說 \mathbf{v} 不是 C 的特徵向量。利用 Steinitz 替換原則構造 \mathbb{C}^{k+1} 的一組基底 \{\mathbf{v},C\mathbf{v},\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_{k-1}\} (見“基底與維數常見問答集”),並令 S=\begin{bmatrix}  \mathbf{v}&C\mathbf{v}&\mathbf{w}_1&\cdots&\mathbf{w}_{k-1}  \end{bmatrix}。寫出

\begin{aligned}  CS&=C\begin{bmatrix}  \mathbf{v}&C\mathbf{v}&\mathbf{w}_1&\cdots&\mathbf{w}_{k-1}  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  C\mathbf{v}&C^2\mathbf{v}&C\mathbf{w}_1&\cdots&C\mathbf{w}_{k-1}  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  \mathbf{v}&C\mathbf{v}&\mathbf{w}_1&\cdots&\mathbf{w}_{k-1}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  0& \mathbf{a}^T\\  \mathbf{b}& K  \end{bmatrix}\\  &=S\begin{bmatrix}  0& \mathbf{a}^T\\  \mathbf{b}& K  \end{bmatrix}.\end{aligned}

其中 Kk\times k 階,\mathbf{b}=(1,0,\ldots,0)^T。因此,

S^{-1}CS=\begin{bmatrix}  0& \mathbf{a}^T\\  \mathbf{b}& K  \end{bmatrix}

推知 \hbox{trace}\,K=\hbox{trace}(S^{-1}CS)=\hbox{trace}(CSS^{-1})=\hbox{trace}\,C=0。根據假設,存在 k\times k 階可逆矩陣 P 使得 (P^{-1}KP)_{ii}=01\le i\le k。令 \tilde{P}=\begin{bmatrix}  1&\mathbf{0}^T\\  \mathbf{0}&P  \end{bmatrix}。計算

\begin{aligned}  \tilde{P}^{-1}S^{-1}CS\tilde{P}&=\begin{bmatrix}  1&\mathbf{0}^T\\  \mathbf{0}&P  \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}  0& \mathbf{a}^T\\  \mathbf{b}& K  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  1&\mathbf{0}^T\\  \mathbf{0}&P  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  1&\mathbf{0}^T\\  \mathbf{0}&P^{-1}  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  0& \mathbf{a}^T\\  \mathbf{b}& K  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  1&\mathbf{0}^T\\  \mathbf{0}&P  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  0&\mathbf{a}^TP\\  P^{-1}\mathbf{b}&P^{-1}KP  \end{bmatrix},  \end{aligned}

證明 (S\tilde{P})^{-1}C(S\tilde{P}) 的主對角元皆為零。

 
(2) 若 Kn\times n 階交換子,則 C=\begin{bmatrix}  0&\mathbf{a}^T\\  \mathbf{b}&K  \end{bmatrix}(n+1)\times(n+1) 階交換子,其中 \mathbf{a}\mathbf{b} 是任意 n 維行向量 (column vector)。

K=AB-BA,即有 K=(A+\alpha I)B-B(A+\alpha I),其中 \alpha 是任一純量。因此,在不失一般性的前提下,假設 A 是可逆矩陣。令 \tilde{A}=\begin{bmatrix}  0&\mathbf{0}^T\\  \mathbf{0}&A  \end{bmatrix}\tilde{B}=\begin{bmatrix}  0&-\mathbf{a}^TA^{-1}\\  A^{-1}\mathbf{b}&B  \end{bmatrix}。計算可得

\begin{aligned}  \tilde{A}\tilde{B}-\tilde{B}\tilde{A}  &=\begin{bmatrix}  0&\mathbf{0}^T\\  \mathbf{0}&A  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  0&-\mathbf{a}^TA^{-1}\\  A^{-1}\mathbf{b}&B  \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}  0&-\mathbf{a}^TA^{-1}\\  A^{-1}\mathbf{b}&B  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  0&\mathbf{0}^T\\  \mathbf{0}&A  \end{bmatrix}\\  &=\begin{bmatrix}  0&\mathbf{0}\\  \mathbf{b}&AB  \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}  0&-\mathbf{a}^T\\  \mathbf{0}&BA  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  0&\mathbf{a}^T\\  \mathbf{b}&AB-BA  \end{bmatrix}=C,\end{aligned}

證明 C 是交換子。

 
(3) 若 C 為交換子,則 P^{-1}CP 是交換子,其中 P 是任一可逆矩陣。

C=AB-BA,則

P^{-1}CP=P^{-1}(AB-BA)P=(P^{-1}AP)(P^{-1}BP)-(P^{-1}BP)(P^{-1}AP)

 
根據以上結果,使用歸納法證明 \hbox{trace}\,C=0C 為交換子的一個充分條件。當 n=1,命題顯然成立。假設當 n=k 時命題成立。若 (k+1)\times(k+1) 階矩陣 C 滿足 \hbox{trace}\,C=0,命題 (1) 指出存在可逆矩陣 P 使得

P^{-1}CP=\begin{bmatrix}  0&\mathbf{a}^T\\  \mathbf{b}&K  \end{bmatrix}

其中 k\times k 階矩陣 K 的主對角元皆為零。因為 \hbox{trace}\,K=0,根據假設,K 是一個交換子。命題 (2) 保證 P^{-1}CP 是交換子,(3) 則說明 C 是交換子。

 
最後舉一個交換子等價於零跡數矩陣的應用。令 \mathcal{M}_n 表示 n\times n 階矩陣構成的向量空間。所有 n\times n 階交換子所形成的集合 \mathcal{S}=\{AB-BA\vert A,B\in\mathcal{M}_n\}\mathcal{M}_n 的一個子空間。證明於下:假設 X,Y\in\mathcal{S},即 \hbox{trace}\,X=\hbox{trace}\,Y=0,且 c 為一純量。跡數是線性函數,推得 \hbox{trace}(X+Y)=\hbox{trace}\,X+\hbox{trace}\,Y=0\hbox{trace}(cX)=c(\hbox{trace}\,X)=0,說明 X+YcX 屬於 \mathcal{S},因此 \mathcal{S}\mathcal{M}_n 的一個子空間 (見“子空間的辨識”)。對於 X=[x_{ij}]\in\mathcal{S}\hbox{trace}\,X=x_{11}+\cdots+x_{nn}=0,推論 \dim\mathcal{S}=n^2-1

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