每週問題 December 28, 2015

計算 $\begin{bmatrix}A&A\\A&A\end{bmatrix}$ 的特徵值。

Let $A$ be an $n\times n$ matrix. Find the eigenvalues of $\begin{bmatrix}A&A\\A&A\end{bmatrix}$ in terms of those of $A$ .

參考解答：

解法1：令 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ 為 $A$ 的特徵值。使用分塊矩陣的行列式公式，

$\begin{aligned} \begin{vmatrix}A-\lambda I&A\\A&A-\lambda I\end{vmatrix}&=\det(A-\lambda I+A)\det(A-\lambda I-A)\\&=\det(2A-\lambda I)\det(-\lambda I).\end{aligned}$

所以， $\begin{bmatrix}A&A\\A&A\end{bmatrix}$ 的特徵值由 $2A$ 與零矩陣的特徵值組成，即 $2\lambda_1,\ldots,2\lambda_n$ ，以及 $n$ 個 $0$ 。

解法2：考慮分塊矩陣乘法

$\begin{bmatrix} I&0\\ -I&I\end{bmatrix}\begin{bmatrix} A&A\\A&A \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I&0\\I&I\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2A&A\\0&0\end{bmatrix}$ ，

立知 $\begin{bmatrix}A&A\\A&A\end{bmatrix}$ 相似於分塊上三角矩陣 $\begin{bmatrix}2A&A\\0&0\end{bmatrix}$ ，故特徵值為 $2\lambda_1,\ldots,2\lambda_n$ ，以及 $n$ 個 $0$ 。

Leave a Reply Cancel reply

Enter your comment here...

Fill in your details below or click an icon to log in:

Email (required) (Address never made public)

Name (required)

Website

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out / Change )

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out / Change )

Cancel

Connecting to %s

	陳倍恩 on 線性代數的第一堂課──矩陣乘法的定義
	輕鬆談如何教學二項式定理？… on 牛頓的二項式定理 (上)
	madhouse on 高斯消去法
	WishMobile on 翻轉 LU 分解
	周子傑 on Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 條件
	Cloud Huang on 線性泛函與伴隨