每週問題 January 4, 2016

計算可交換矩陣構成的分塊矩陣的特徵值。

Let A and B be n\times n matrix. If AB=BA, find the eigenvalues of

\begin{bmatrix}  A&B\\  B&-A  \end{bmatrix}.

 
參考解答:

使用分塊矩陣的行列式公式:若 PR=RP,則 \begin{vmatrix}  P&Q\\  R&S  \end{vmatrix}=\det(PS-RQ)。對於純量 t(A-tI)B=AB-tB=BA-t B=B(A-t I),故 \begin{bmatrix}  A&B\\  B&-A  \end{bmatrix} 的特徵多項式為

\begin{aligned}  \begin{vmatrix}  A-\lambda I&B\\  B&-A-\lambda I  \end{vmatrix}&=\det\left((A-\lambda I)(-A-\lambda I)-B^2\right)\\  &=(-1)^n\det(A^2+B^2-\lambda^2I).  \end{aligned}

可交換矩陣同時可三角化,具體地說,存在一么正 (unitary) 矩陣 U 滿足 U^\ast=U^{-1},使得 T_1=U^\ast AUT_2=U^\ast BU 為上三角矩陣。寫出

A^2+B^2=(UT_1U^\ast)^2+(UT_2U^\ast)^2=UT_1^2U^\ast+UT_2^2U^\ast=U(T_1^2+T_2^2)U^\ast

A^2+B^2 的特徵值為上三角矩陣 T_1^2+T_2^2 的特徵值,即 \lambda_i^2+\mu_i^2,其中 \lambda_i\mu_i 分別是 AB 的特徵值,1\le i\le n。所以,\begin{bmatrix}  A&B\\  B&-A  \end{bmatrix} 的特徵值為 \pm\sqrt{\lambda_i^2+\mu_i^2}1\le i\le n

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