每週問題 January 4, 2016

計算可交換矩陣構成的分塊矩陣的特徵值。

Let A and B be n\times n matrix. If AB=BA, find the eigenvalues of

\begin{bmatrix}A&B\\B&-A\end{bmatrix}.

 
參考解答:

使用分塊矩陣的行列式公式:若 PR=RP,則 \begin{vmatrix}P&Q\\R&S\end{vmatrix}=\det(PS-RQ)。對於純量 t(A-tI)B=AB-tB=BA-t B=B(A-t I),故 \begin{bmatrix}A&B\\B&-A\end{bmatrix} 的特徵多項式為

\begin{aligned} \begin{vmatrix}A-\lambda I&B\\B&-A-\lambda I\end{vmatrix}&=\det\left((A-\lambda I)(-A-\lambda I)-B^2\right)\\ &=(-1)^n\det(A^2+B^2-\lambda^2I). \end{aligned}

可交換矩陣同時可三角化,具體地說,存在一么正 (unitary) 矩陣 U 滿足 U^\ast=U^{-1},使得 T_1=U^\ast AUT_2=U^\ast BU 為上三角矩陣。寫出

A^2+B^2=(UT_1U^\ast)^2+(UT_2U^\ast)^2=UT_1^2U^\ast+UT_2^2U^\ast=U(T_1^2+T_2^2)U^\ast

A^2+B^2 的特徵值為上三角矩陣 T_1^2+T_2^2 的特徵值,即 \lambda_i^2+\mu_i^2,其中 \lambda_i\mu_i 分別是 AB 的特徵值,1\le i\le n。所以,\begin{bmatrix}A&B\\B&-A\end{bmatrix} 的特徵值為 \pm\sqrt{\lambda_i^2+\mu_i^2}1\le i\le n

相關閱讀:
This entry was posted in pow 特徵分析, 每週問題 and tagged , , . Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s