AB 與 BA 的關係:特徵空間篇

本文的閱讀等級:中級

A 為一個 m\times n 階矩陣,B 為一個 n\times m 階矩陣。即便 AB 是同階方陣,矩陣乘法不滿足交換律,但 ABBA 有一個重要的不變量──相同的非零特徵值 (見“AB 與 BA 有何關係?”,“分塊矩陣的解題案例──逆矩陣與矩陣乘積的特徵值”)。精確地說,若 \lambda\neq 0AB 的特徵值,代數重數為 \beta,則 \lambda 也是 BA 的特徵值,代數重數為 \beta。自然地,我們會問:ABBA 的非零特徵值 \lambda 的幾何重數 (特徵空間維數,見“特徵值的代數重數與幾何重數”) 是否相同?答案是肯定的。這篇短文證明

\dim N(AB-\lambda I_m)=\dim N(BA-\lambda I_n)

其中 N(S) 表示方陣 S 的零空間 (nullspace)。

 
特徵空間 N(AB-\lambda I_m)\mathbb{C}^m 的子空間,特徵空間 N(BA-\lambda I_n) 則是 \mathbb{C}^n 的子空間。在不限制 mn 的大小關係的前提下,如果能證明 \dim N(AB-\lambda I_m)\le\dim N(BA-\lambda I_n),根據對稱性即有 \dim N(BA-\lambda I_n)\le\dim N(AB-\lambda I_m),於是證得所求。我們先介紹證明所需的預備知識。對於一 p\times q 階複矩陣 M,子空間 \mathcal{X}\subseteq\mathbb{C}^q 經矩陣 M 映射得到的像 (image) 是 \mathbb{C}^p 的一個子空間,記為 M(\mathcal{X})=\{M\mathbf{x}\vert\mathbf{x}\in\mathcal{X}\}。設 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\}\mathcal{X} 的一組基底。任一 \mathbf{x}\in\mathcal{X} 可唯一表示成 \mathbf{x}=c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_k\mathbf{v}_k,則 M\mathbf{x}=c_1M\mathbf{v}_1+\cdots+c_kM\mathbf{v}_k。因此,M(\mathcal{X})=\hbox{span}\{M\mathbf{v}_1,\ldots,M\mathbf{v}_k\},推得 \dim M(\mathcal{X})\le k=\dim\mathcal{X}。再者,若 \mathbb{C}^q 的子空間 \mathcal{X}\mathcal{Y} 滿足 \mathcal{X}\subseteq\mathcal{Y},明顯有 M(\mathcal{X})\subseteq M(\mathcal{Y})

 
下面證明 \dim N(AB-\lambda I_m)\le\dim N(BA-\lambda I_n)。設 \mathbf{x}\in N(AB-\lambda I_m),也就有 (AB-\lambda I_m)\mathbf{x}=\mathbf{0}。上式左乘 B,可得 B(AB-\lambda I_m)\mathbf{x}=(BA-\lambda I_n)B\mathbf{x}=\mathbf{0},即知 B\mathbf{x}\in N(BA-\lambda I_n),故

B(N(AB-\lambda I_m))\subseteq N(BA-\lambda I_n)

同樣道理,

A(N(BA-\lambda I_n))\subseteq N(AB-\lambda I_m)

使用矩陣乘法結合律與上面兩式,

\begin{aligned}  AB(N(AB-\lambda I_m))&=A(B(N(AB-\lambda I_m)))\\  &\subseteq A(N(BA-\lambda I_n))\\  &\subseteq N(AB-\lambda I_m).  \end{aligned}

\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_k\}k\ge 1,為 N(AB-\lambda I_m) 的一組基底。若 \lambda\neq 0,則

\begin{aligned}    AB(N(AB-\lambda I_m))&=\hbox{span}\{AB\mathbf{x}_1,\ldots,AB\mathbf{x}_k\}\\  &=\hbox{span}\{\lambda\mathbf{x}_1,\ldots,\lambda\mathbf{x}_k\}\\  &=\hbox{span}\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_k\}\\  &=N(AB-\lambda I_m).\end{aligned}

比較上面兩式,可得 AB(N(AB-\lambda I_m))=A(N(BA-\lambda I_n))=N(AB-\lambda I_m),證明 \dim N(AB-\lambda I_m)\le \dim N(BA-\lambda I_n)

 
事實上,對於非零特徵值 \lambdaABBA 不僅有相同的代數重數與幾何重數,我們可以證明更強的結論:ABBA 有相同的 Jordan 分塊結構,詳細討論見“AB 與 BA 的關係:Jordan 分塊篇”。

Advertisements
本篇發表於 特徵分析, 線性代數專欄 並標籤為 , 。將永久鏈結加入書籤。

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 / 變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 / 變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 / 變更 )

Google+ photo

您的留言將使用 Google+ 帳號。 登出 / 變更 )

連結到 %s