## 每週問題 January 11, 2016

Let $T$ be a linear operator of rank one. Prove the following statements.
(a) There exists a unique scalar $\lambda$ such that $T^2=\lambda T$.
(b) If $\lambda\neq 1$, then $I-T$ is invertible, where $I$ is the identity transformation.

(a) 考慮定義於向量空間 $\mathcal{V}$ 的線性算子 $T$。因為 $\hbox{rank}T=1$，設 $T$ 的值域為 $\hbox{span}\{\mathbf{z}\}$，其中 $\mathbf{z}\in\mathcal{V}$ 為一非零向量。因此，對於每一 $\mathbf{x}\in\mathcal{V}$

$T(\mathbf{x})=\alpha(\mathbf{x})\mathbf{z}$

$T^2(\mathbf{x})=T(\alpha(\mathbf{x})\mathbf{z})=\alpha(\mathbf{x})T(\mathbf{z})=\alpha(\mathbf{x})\alpha(\mathbf{z})\mathbf{z}=\alpha(\mathbf{z})T(\mathbf{x})$

$T^2=\alpha(\mathbf{z})T$。令 $\lambda=\alpha(\mathbf{z})$ 即證明存在性。接著證明唯一性，假設兩個純量 $\lambda_1$$\lambda_2$ 使得 $T^2=\lambda_1T$$T^2=\lambda_2T$，則 $(\lambda_1-\lambda_2)T=0$。但 $T\neq 0$ (因為 $\hbox{rank}T\neq 0$)，推得 $\lambda_1=\lambda_2$

(b) 假設 $\lambda\neq 1$，我們要證明 $(I-T)(\mathbf{x})=\mathbf{0}$ 蘊含 $\mathbf{x}=\mathbf{0}$。寫出 $T(\mathbf{x})=I(\mathbf{x})=\mathbf{x}$，且 $T^2(\mathbf{x})=T(\mathbf{x})$。由 (a)，$T^2(\mathbf{x})=\lambda T(\mathbf{x})$。令兩式相減，$(\lambda-1)T(\mathbf{x})=\mathbf{0}$，故 $T(\mathbf{x})=\mathbf{0}$，推得 $\mathbf{x}=\mathbf{0}$

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