每週問題 January 18, 2016

證明兩個冪等 (idempotent) 矩陣相似的一個充要條件是它們有相同的秩。

Let P and Q be n\times n idempotent matrices, i.e., P^2=P and Q^2=Q. Show that P is similar to Q if and only if \hbox{rank}P=\hbox{rank}Q.

 
參考解答:

設非零向量 \mathbf{x} 滿足 P\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x},則 P^2\mathbf{x}=\lambda^2\mathbf{x}。因為 P^2=P,可得 \lambda^2=\lambda,即知冪等矩陣 P 有特徵值 01。又 (I-P)^2=I-2P+P^2=I-P,可知 I-P 也是冪等矩陣。使用 P^n=P^{n-1}=\cdots=P(I-P)^n=(I-P)^{n-1}=\cdots=I-P,故 N(P^n)=N(P)N((I-P)^n)=N(I-P),其中 N(X) 表示矩陣 X 的零空間 (nullspace)。換句話說,P 的特徵值 0 的代數重數 N(P^n) 等於幾何重數 N(P),特徵值 1 的代數重數 N((P-I)^n)=N((I-P)^n) 也等於幾何重數 N(P-I)=N(I-P),表明 P 可對角化。同樣地,冪等矩陣 Q 有特徵值 01,並可對角化。因此,P 相似於 Q 等價於 PQ 相似於 D=\hbox{diag}(1,\ldots,1,0,\ldots,0),又等價於 \hbox{rank}P=\hbox{rank}Q=\hbox{rank}D

附帶一提,因為 \hbox{rank}P=\hbox{trace}P\hbox{rank}Q=\hbox{trace}QP 相似於 Q 的另一個充要條件為 \hbox{trace}P=\hbox{trace}Q

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