## 每週問題 January 25, 2016

If $A$ is an $n\times n$ matrix, a vector $\mathbf{x}\in\mathbb{C}^n$ is said to be a fixed point of $A$ if $A\mathbf{x}=\mathbf{x}$. Let $P$ and $Q$ be $n\times n$ idempotent matrices, i.e., $P^2=P$ and $Q^2=Q$. If the zero vector is the only fixed point of $P+Q$, show that $\hbox{rank}P=\hbox{rank}Q$.

$M=P+Q-I$。若 $M\mathbf{x}=(P+Q-I)\mathbf{x}=\mathbf{0}$，即 $(P+Q)\mathbf{x}=\mathbf{x}$，則 $\mathbf{x}=\mathbf{0}$，說明 $M$ 是一個可逆矩陣。考慮

\begin{aligned} PM&=P(P+Q-I)=P^2+PQ-P=PQ\\ MQ&=(P+Q-I)Q=PQ+Q^2-Q=PQ. \end{aligned}

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### 4 Responses to 每週問題 January 25, 2016

1. cellcetion says:

老師您好 我在回顧這裡的時候發現 （P+Q）x=x 則 x = 0 這裡我無法證明 盼老師可以給出證明過程，不甚感激。

• ctimmy says:

這邊指的是題目的前提: if the zero vector is the only fixed point…，該式只是題目假設的呈現。

• cellcetion says:

感謝老師！這邊是我沒有認真讀題，麻煩老師了，很抱歉

• ctimmy says:

我不是老師…XD，周老師似乎沒有再繼續更新這裡了，我只是有會的回一下而已。