每週問題 February 1, 2016

這是廣義化正規可交換矩陣問題。

Let A_1 and A_2 be n\times n normal matrices. If A_1B=BA_2, show that A_1^\ast B=BA_2^\ast.


參考解答:
使用正規矩陣的一個等價性質──可么正對角化 (unitarily diagonalizable),寫出

A_1=U_1D_1U_1^\ast,~~A_2=U_2D_2U_2^\ast

其中 D_1=\hbox{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)D_2=\hbox{diag}(\mu_1,\ldots,\mu_n)U_1U_2 為么正 (unitary) 矩陣,即 U_1^\ast=U_1^{-1}U_2^\ast=U_2^{-1}。將 A_1A_2 的么正對角化表達式代入 A_1B=BA_2,可得

U_1D_1U_1^\ast B=BU_2D_2U_2^\ast

上式左乘 U_1^\ast,右乘 U_2

D_1U_1^\ast BU_2=U_1^\ast BU_2D_2

比較等號兩邊的 (i,j) 元,\lambda_i(U_1^\ast BU_2)_{ij}=(U_1^\ast BU_2)_{ij}\mu_j,即 (\lambda_i-\mu_j)(U_1^\ast BU_2)_{ij}=0。若 (U_1^\ast BU_2)_{ij}\neq 0,則 \overline{\lambda_i}=\overline{\mu_j}。因此,\overline{\lambda_i}(U_1^\ast BU_2)_{ij}=\overline{\mu_j}(U_1^\ast BU_2)_{ij},也就是說

D_1^\ast U_1^\ast BU_2=U_1^\ast BU_2D_2^\ast

上式左乘 U_1,右乘 U_2^\ast,便有 U_1D_1^\ast U_1^\ast B=BU_2D_2^\ast U_2^\ast,因此證明 A_1^\ast B=BA_2^\ast

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