每週問題 February 15, 2016

利用跡數 \hbox{trace}(A^\ast A)=0 等價於 A=0 證明一些涉及 A^\ast A 的代數性質。

Prove the following statements.

(a) If A is an m\times n complex matrix, then \Vert A\Vert_F^2=\hbox{trace}(A^\ast A)\ge 0, and \Vert A\Vert_F=0 if and only if A=0.

(b) If A_1,\ldots,A_k are m\times n complex matrices and \sum_{i=1}^kA_i^\ast A_i=0, then A_1=\cdots=A_k=0.

(c) If A^\ast A=B^\ast B-BB^\ast, then A=0.

(d) If A^\ast commutes with A and if A commutes with B, then A^\ast commutes with B. Prove this statement by showing that

\Vert A^\ast B-BA^\ast\Vert^2_F-\Vert AB-BA\Vert^2_F=\hbox{trace}\left((A^\ast A-AA^\ast)(B^\ast B-BB^\ast)\right).

 
參考解答:

(a) 因為 A^\ast A 是 Hermitian 半正定,寫出正交對角化形式 A^\ast A=U\,\hbox{diag}(\mu_1,\ldots,\mu_n)\,U^\ast,其中 U 是么正 (unitary) 矩陣,即 U^\ast=U^{-1},且每一 \mu_i\ge 0。因此,\hbox{trace}(A^\ast A)=\mu_1+\cdots+\mu_n\ge 0,又 \hbox{trace}(A^\ast A)=0 等價於 \mu_1=\cdots=\mu_n=0,即 A^\ast A=0。再者,\hbox{rank}(A^\ast A)=\hbox{rank}A,推得 A^\ast A=0 等價於 A=0

(b) 跡數是線性函數,

\displaystyle  \sum_{i=1}^k\Vert A_i\Vert_F^2=\sum_{i=1}^k\hbox{trace}(A_i^\ast A_i)=\hbox{trace}\left(\sum_{i=1}^kA_i^\ast A_i\right)=0

\Vert A_1\Vert_F=\cdots=\Vert A_k\Vert_F=0。由 (a),A_1=\cdots=A_k=0

(c) 使用給定條件,

\Vert A\Vert_F^2=\hbox{trace}(A^\ast A)=\hbox{trace}(B^\ast B-BB^\ast)=\hbox{trace}(B^\ast B)-\hbox{trace}(BB^\ast)=0

A=0

(d) 使用跡數循環不變性,

\begin{aligned}  \Vert A^\ast B-BA^\ast\Vert^2_F-\Vert AB-BA\Vert^2_F  &=\hbox{trace}\left((A^\ast B-BA^\ast)^\ast(A^\ast B-BA^\ast)\right)\\  &~~-\hbox{trace}\left((AB-BA)^\ast(AB-BA)\right)\\  &=\hbox{trace}(B^\ast AA^\ast B-B^\ast ABA^\ast-AB^\ast A^\ast B+AB^\ast BA^\ast)\\  &~~-\hbox{trace}(B^\ast A^\ast AB-B^\ast A^\ast BA-A^\ast B^\ast AB+A^\ast B^\ast BA)\\  &=\hbox{trace}(AA^\ast BB^\ast-ABA^\ast B^\ast-AB^\ast A^\ast B+A^\ast AB^\ast B)\\  &~~-\hbox{trace}(A^\ast ABB^\ast-AB^\ast A^\ast B-ABA^\ast B^\ast +AA^\ast B^\ast B)\\  &=\hbox{trace}\left((A^\ast A-AA^\ast)(B^\ast B-BB^\ast)\right).  \end{aligned}

根據此等式,若 A 是正規矩陣 (A^\ast A=AA^\ast) 且 AB=BA,則 \Vert A^\ast B-BA^\ast\Vert^2_F=0,由 (a) 可得 A^\ast B=BA^\ast

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