## 每週問題 February 22, 2016

Let $A$, $B$, and $C$ be $n\times n$ matrices.
(a) Is it true that $ABC$, $BCA$, and $CAB$ have the same eigenvalues?
(b) Is it true that $ABC$ and $CBA$ have the same eigenvalues?

(a) 正確。使用這個性質：若 $P$$Q$ 為同階方陣，則 $PQ$$QP$ 有相同的特徵值。因此，$A(BC)$$(BC)A$ 有相同的特徵值，又 $(AB)C$$C(AB)$ 有相同的特徵值。

(b) 錯誤。例如，$A=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix}$$B=\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix}$，且 $C=\begin{bmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{bmatrix}$，則 $ABC=\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&0 \end{bmatrix}$ 的特徵值為 $1$$0$，但 $CBA=\begin{bmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{bmatrix}$ 的特徵值為 $0$，相重數為 $2$