每週問題 February 22, 2016

改變三個矩陣乘積順序,特徵值是否改變?

Let A, B, and C be n\times n matrices.
(a) Is it true that ABC, BCA, and CAB have the same eigenvalues?
(b) Is it true that ABC and CBA have the same eigenvalues?

 
參考解答:

(a) 正確。使用這個性質:若 PQ 為同階方陣,則 PQQP 有相同的特徵值。因此,A(BC)(BC)A 有相同的特徵值,又 (AB)CC(AB) 有相同的特徵值。

(b) 錯誤。例如,A=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&0  \end{bmatrix}B=\begin{bmatrix}  0&1\\  0&0  \end{bmatrix},且 C=\begin{bmatrix}  0&0\\  1&0  \end{bmatrix},則 ABC=\begin{bmatrix}  1&0\\  0&0  \end{bmatrix} 的特徵值為 10,但 CBA=\begin{bmatrix}  0&0\\  0&0  \end{bmatrix} 的特徵值為 0,相重數為 2

相關閱讀:
廣告
本篇發表於 pow 特徵分析, 每週問題 並標籤為 。將永久鏈結加入書籤。

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 / 變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 / 變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 / 變更 )

Google+ photo

您的留言將使用 Google+ 帳號。 登出 / 變更 )

連結到 %s