無限維向量空間的基底

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向量空間 \mathcal{V} 的一組基底是一個向量集合 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\},滿足兩個條件 (見“基底與維數常見問答集”):

  1. \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\} 是一個線性獨立集,即 c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_n\mathbf{x}_n=\mathbf{0} 蘊含 c_1=\cdots=c_n=0
  2. \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\} 生成 (span) \mathcal{V},即任何一個向量 \mathbf{x}\in\mathcal{V} 可表示為 \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n 的線性組合,\mathbf{x}=c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_n\mathbf{x}_n

若基底是一個有限集,則 \mathcal{V} 稱為有限維向量空間,否則稱為無限維向量空間。任何一個有限維向量空間都存在一組基底,維數定理 (dimension theorem) 聲明:有限維向量空間的任一組基底包含的向量數等於其他任何基底的向量數 (證明見[1],為了不中斷討論,證明都放在文末的註解)。根據維數定理,有限維向量空間 \mathcal{V} 的維數定義為任何一組基底的基數 (cardinal number,集合的元素數),記為 \dim\mathcal{V}。例如,\mathbb{R}^n 是所有的 n 維實向量 \mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n) 構成的向量空間,標準基底為 \{\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n\},其中 \mathbf{e}_i 是標準單位向量 (第 i 元為 1,其餘元為 0),故 \dim\mathbb{R}^n=n。另外,\mathcal{P}_n 是所有的次數不大於 n 的複係數多項式 p(t)=\sum_{k=0}^n a_kt^k 構成的向量空間,標準基底為 \{1,t,\ldots,t^n\},因此 \dim\mathcal{P}_n=n+1。下面列舉幾個無限維向量空間[2]\mathcal{P} 是複係數多項式 p(t)=a_0+a_1t+a_2t^2+\cdots 構成的向量空間;\mathbb{R}^\infty 是實序列 (x_1,x_2,\ldots),或寫成 \{x_i\},構成的向量空間;\mathcal{C}[0,1] 是定義於區間 [0,1] 的連續函數構成的向量空間。本文要討論問題是:任何一個無限維向量空間都存在一組基底嗎?

 
數學構造主義 (constructivism) 認為要證明一個數學對象存在就必須把它構造出來。構造性證明是通過直接或間接構造出具有命題所要求的性質的實例來完成證明。假若任一無限維向量空間存在一組基底,能否通過一個程序找到任何一個無限維向量空間的一組基底?我們先回顧有限維向量空間的基底構造法。

 
定理1. \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\} 是線性相關的非零向量集的一個充要條件是存在 k2\le k\le n,使得 \mathbf{x}_k 可表示為 \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_{k-1} 的線性組合。

證明見[3]。定理1提供了一個線性獨立集的構造法。考慮一個非零向量的集合 \{\mathbf{x}_1\},逐次加入一個新的非零向量 \mathbf{x}_i 至向量集 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_{i-1}\}i\ge 2,直到 \mathbf{x}_k 可表示為 \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_{k-1} 的線性組合,\mathbf{x}_k=\sum_{i=1}^{k-1}c_i\mathbf{x}_i,則 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_{k-1}\} 是一個線性獨立集。在有限維向量空間 \mathcal{V},基底是最大的線性獨立集 (證明見[4]),因此上述程序最終將停止。

 
定理2. 若 \mathcal{V} 是一個有限維向量空間,且 \{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m\} 是一個線性獨立集,我們可以找到向量 \mathbf{y}_{m+1},\ldots,\mathbf{y}_{m+p} 使得 \{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m,\mathbf{y}_{m+1},\ldots,\mathbf{y}_{m+p}\}\mathcal{V} 的一組基底。

證明見[5]。定理2保證在有限維向量空間中,任何一個線性獨立集可擴大為一組基底。有限維向量空間的基底構造法也可以推廣至無限維向量空間嗎?回答這個問題前,我們必須釐清無限向量集的線性獨立性與生成的意義。

 
根據定義,向量空間 \mathcal{V} 的一組基底為一個線性獨立集並可生成 \mathcal{V}。這兩個性質都建立在向量的線性組合上,即向量加法與純量乘法。向量加法是一個二元運算,通過加法結合律 (向量空間的八個公理之一,見“同構的向量空間”),\mathbf{x}+\mathbf{y}+\mathbf{z}=(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z},使用歸納法可定義有限個向量之和,但無限個向量之和是不具意義的 (除非向量空間加入拓樸結構)。因此,當我們說無限向量集 \{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\ldots\} 是線性獨立時,意思是從中選擇任何有限個向量 \mathbf{x}_{i_1},\ldots,\mathbf{x}_{i_n}c_1\mathbf{x}_{i_1}+\cdots+c_n\mathbf{x}_{i_n}=\mathbf{0} 蘊含 c_1=\cdots=c_n=0。類似地,當我們說無限向量集 \{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\ldots\} 生成向量空間 \mathcal{V},意思是任何一個向量 \mathbf{x}\in\mathcal{V} 都可表示為無限向量集裡面有限個元素 \mathbf{x}_{i_1},\ldots,\mathbf{x}_{i_n} 的線性組合,\mathbf{x}=c_1\mathbf{x}_{i_1}+\cdots+c_n\mathbf{x}_{i_n}。我們要特別強調無限向量集 \{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\ldots\} 可以是可數的 (countable) 或不可數的 (uncountable)。可數集 (有限或無限) 是與自然數集 \mathbb{N} 的某個子集具有相同基數的集合,也就是說,可數集中每一個特定的元素都對應一個自然數。實數集 \mathbb{R} (或稱連續統,continuum) 是一個典型的不可數集 (證明見[6])。為了不造成混淆,我們用 \{\mathbf{x}_\lambda|\lambda\in\Lambda\} 代表不可數向量集,\Lambda 是某個不可數集。

 
例1. 向量空間 \mathcal{P} 是否存在一組基底?次數不大於 n 的多項式 p(t)=a_0+a_1t+\cdots+a_nt^n 形成的向量空間 \mathcal{P}_n\mathcal{P} 的一個子空間。從 \mathcal{P} 任選一個多項式 p(t),必定存在正整數 n 使得 p(t)\in\mathcal{P}_n,也就是說 p(t) 可表示為有限個多項式 p_k(t)=t^kk=0,1,\ldots,n,的線性組合。再者,若所有的 t 使得 \sum_{k=0}^nc_kp_k(t)=\sum_{k=0}^nc_kt^k=0,則 c_0=c_1=\cdots=c_n=0 (證明見[7])。所以,\{p_0(t),p_1(t),p_2(t),\ldots\}\mathcal{P} 的一組 (可數的) 基底。

 
例2. 考慮向量空間 \mathbb{R}^\infty 的一個子空間 \mathbb{R}^\oplus,其中每一個向量 \mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots) 可表示為有限個 \mathbf{e}_i 的線性組合,\mathbf{e}_i=(0,\ldots,0,1,0,\ldots) 的第 i 元為 1,其餘元為 0。換句話說,存在 n 使得 x_k=0k>n,即 \mathbf{x}=\sum_{k=0}^nx_k\mathbf{e}_k。因為 \{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots\} 是一個線性獨立集 (證明見[8]),\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\ldots\} 是向量空間 \mathbb{R}^\oplus 的標準基底。

 
例3. 向量空間 \mathbb{R}^\infty 是否存在一組基底?令 \mathbf{x}_\lambda=(1,\lambda,\lambda^2,\ldots),其中 \lambda\in\mathbb{R}。考慮平移算子 D:\mathbb{R}^\infty\to\mathbb{R}^\infty,定義如下:

D(\mathbf{x}_\lambda)=D(1,\lambda,\lambda^2,\ldots)=(\lambda,\lambda^2,\lambda^3,\ldots)=\lambda\mathbf{x}_\lambda

上式說明 \mathbf{x}_\lambda 是線性算子 D 對應特徵值 \lambda 的一個特徵向量[9]。對應相異特徵值的特徵向量組成線性獨立集,可知 \{\mathbf{x}_\lambda|\lambda\in\mathbb{R}\} 是一個線性獨立集,但此向量集合是不可數的。這個例子顯示即便 \mathbb{R}^\infty 確實存在一組基底,我們也無法以逐次加入元素的方式構造這個基底。對構造主義者來說,不能構造出一組基底表示無從證明基底存在。

 
以上討論可以歸結出基底的精確定義。對於一個佈於純量體 \mathcal{F} (實數系 \mathbb{R} 或複數系 \mathbb{C}) 的向量空間 \mathcal{V},我們說 \mathcal{V} 的一個子集合 S 是線性獨立集,若 S 的任何一個有限子集 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\} 使得 \sum_{i=1}^nc_i\mathbf{x}_i=\mathbf{0}c_i\in\mathcal{F},蘊含 c_1=\cdots=c_n=0。我們將基底的線性獨立性與可生成向量空間兩個條件合併為一個陳述:基底是一個最大線性獨立集。具體地講,若非空線性獨立集 B 使得 B\subset E\subseteq \mathcal{V} 蘊含 E 是線性相關集,則 B 稱為 \mathcal{V} 的一組 Hamel 基底 (簡稱基底)。這裡 B\subset E 表示 BE 的真子集 (proper subset),也就是說 B\subseteq EB\neq E。究竟 \mathbb{R}^\infty\mathcal{C}[0,1] 或任何一個無限維向量空間 \mathcal{V} 是否存在一組 Hamel 基底?半個世紀前,這個問題曾經困擾許多數學家。今天多數的數學家選擇的答案是:任何一個向量空間都存在一組 Hamel 基底。為甚麼說選擇呢?原因在於你是否接受選擇公理 (axiom of choice,簡稱 AC)。

 
在集合論,選擇公理是最被廣泛討論的一個公理。選擇公理有很多種等價的陳述方式,下面是關乎其名稱的表述。令 \{A_i\}_{i\in I} 為一集合族 (family of sets)。笛卡爾積 \times_{i\in I}A_i (見“伯努利試驗”) 是所有的函數 x,稱為選擇函數 (choice function),形成的一個集合,其中 x 的定義域為 I,使得每一 i\in Ix_i=x(i)\in A_j。我們可以問:給定任一集合族,必定存在選擇函數嗎?若 I=\emptyset,空函數 \emptyset 即為選擇函數。若 I\neq\emptyset,且某些 i\in I 滿足 A_j=\emptyset,則 \times_{i\in I}A_i=\emptyset。除了這兩個特例,在一般情況下 (某些無限集合),ZF 集合論 (Zermelo–Fraenkel set theory) 並未提供回答此問題的公理[10]。選擇公理說:若 \{A_i\}_{i\in I} 為一集合族使得 I\neq\emptyset 且某些 i\in I 滿足 A_j\neq\emptyset,則集合族 \{A_i\}_{i\in I} 存在至少一個選擇函數。直白地說,選擇公理聲明[11]:給定一些盒子 (可以是無限個),每個盒子中都含有至少一個小球 (不理會不含小球的空盒子),那麼可以作出這樣一種選擇使得可從每個盒子中恰好選出一個小球。在某些情況下,這樣的選擇不須藉助選擇公理,譬如「盒子數是有限的」和「存在具體的選擇規則」(當每個盒子都恰好只有一個小球具有某項特徵)。英國哲學家、數學家羅素 (Bertrand Russell) 舉了一個例子說明:假設有無限雙鞋子,我們可以選取每雙鞋的左腳那隻鞋子構成一個具體的選擇。然而,假設有無限雙襪子而且每雙襪子都沒有可區分的特徵,在這種情況下有效的選擇只能通過選擇公理得到。

 
圍繞在選擇公理的三個問題包括:

  1. 選擇公理可由其他的公理導出嗎?
  2. 選擇公理與其他的的公理一致嗎?
  3. 我們是否應接受選擇公理?

1963年,美國數學教授寇恩 (Paul Cohen) 證明選擇公理在邏輯上獨立於 ZF 集合論的其他公理,也就回答了第1個問題,選擇公理無法從集合論的其他公理導出。1938年,奧地利數學家哥德爾 (Kurt Gödel) 解決了第2個問題,他證出如果其他的公理是一致的,則選擇公理也與它們相容。不論接受選擇公理與否都不會產生矛盾,因此第3個問題屬於哲學問題,取決於數學家的個人偏好。這個情況類似歐幾里得的平行公設 (parallel postulate)[12] 獨立於其他的公設,平行公設既不能被證明也不能被反證。歐幾里得幾何假定平行公設成立,非歐幾里得幾何假定平行公設不成立。如果我們接受選擇公理,就表示我們承認非構造性證明。

 
假定選擇公理成立,下面介紹任何一個向量空間都有一組 Hamel 基底的一個簡易證明。選擇公理有很多等價的陳述,我們的證明使用圖基引理 (Tukey’s Lemma)[11]:任何一個非空有限標記族 (family of finite character) 有一個最大成員 (member)。令 F 為一集合族。我們說 F 是一個有限標記族,若任一集合 A 使得 A\in F 等價於 A 的任何一個有限子集都在 F 中。

 
定理3. 任一包含至少兩個元素的向量空間有一組 Hamel 基底。

證明於下:令 \mathcal{V} 為一個向量空間,包含至少兩個元素。令 \mathbf{x}\in\mathcal{V} 為一非零向量。因為 \{\mathbf{x}\} 是一個線性獨立集,\mathcal{V} 的所有線性獨立子集構成的集合族 F 是非空的。每一個線性獨立集的任何一個有限子集都是線性獨立集[13],故 F 是一個有限標記族。圖基引理聲明 F 包含一個最大成員,也就是說,\mathcal{V} 有一個最大線性獨立集,此即基底。

 
定理4. 令 \mathcal{V} 為佈於體 \mathcal{F} 的一個向量空間,且 B\mathcal{V} 的一組 Hamel 基底。對於每一個 \mathbf{v}\in\mathcal{V},存在唯一一個函數 \phi:B\to\mathcal{F} 使得除了有限個 \mathbf{x}\in B 之外,\phi(\mathbf{x})=0\mathbf{v}=\sum_{\mathbf{x}\in B}\phi(\mathbf{x})\mathbf{x}

證明見[14]。定理4說每一個 \mathbf{v}\in\mathcal{V} 可唯一表示為 Hamel 基底 B 的有限個元素的線性組合。若 \mathcal{V} 是一個有限維向量空間,定理4是基底定義的立即推論[15]

 
在一般情況下,不存在找出一組 Hamel 基底的實用的方法,這意味無限維向量空間的基底 (尤其是不可數的) 是一個無用的概念。Hamel 基底不允許無限個向量和,但既然 Hamel 基底無用,數學家於是轉而探討無限個向量和,如何使 \sum_{k=1}^\infty\mathbf{x}_k 有意義?唯一一個方法是考慮無限個向量的部分和,\mathbf{s}_n=\sum_{k=1}^n\mathbf{x}_kn=1,2,\ldots,並期待向量序列 \{\mathbf{s}_n\} 收斂至某個向量 \mathbf{s}。為了討論收斂性,我們必須能度量向量 \mathbf{x} (如 \mathbf{s}-\mathbf{s}_n) 的長度 \Vert\mathbf{x}\Vert,稱為範數 (norm)。再者,為保證 \{\mathbf{s}_n\} 總是收斂至所考慮的向量空間內的一個元素,我們要求向量空間具有完備性 (completeness,有限維向量空間自動滿足完備性)。最後,我們還希望向量空間存在一組正交基底,因為任一向量以正交基底表示的組合係數可通過內積運算得到 (見“傅立葉級數 (上)”),這樣的空間稱為內積空間。完備的内積空間符合上面三個條件 (內積空間蘊含賦範向量空間,見“歐幾里得空間的數學結構”),稱為希爾伯特空間 (Hilbert space),這是現今應用最廣的一種無限維向量空間 (見“從幾何向量空間到函數空間”)。

 
註解
[1] 假設 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\}\{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m\} 是向量空間 \mathcal{V} 的兩組基底。在不失一般性的前提下,假設 m\ge n。因為 \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n 構成一組基底,\mathbf{y}_1 可表示為 \mathbf{y}_1=\sum_{i=1}^nc_i\mathbf{x}_i。因為 \mathbf{y}_1\neq\mathbf{0},至少存在一個非零 c_i。如有必要,將 \mathbf{x}_i 的指標排序使得 c_1\neq 0,則 \mathbf{x}_1 可表示為 \mathbf{y}_1,\mathbf{x}_2,\ldots,\mathbf{x}_n 的線性組合,

\displaystyle \mathbf{x}_1=\frac{1}{c_1}\mathbf{y}_1-\frac{1}{c_1}\sum_{i=2}^nc_i\mathbf{x}_i

因此,\mathcal{V}=\hbox{span}\{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\ldots,\mathbf{x}_n\}=\hbox{span}\{\mathbf{y}_1,\mathbf{x}_2,\ldots,\mathbf{x}_n\}。重複上述過程,假設 \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_k 依序被替換為 \mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_k,向量 \mathbf{y}_{k+1} 可表示為 \mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_k,\mathbf{x}_{k+1},\ldots,\mathbf{x}_n 的線性組合,

\displaystyle \mathbf{y}_{k+1}=\sum_{i=1}^k\alpha_i\mathbf{y}_i+\sum_{i=k+1}^n\beta_i\mathbf{x}_i

因為 \{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_{k+1}\} 是一個線性獨立集,至少存在一 \beta_i 不為零,否則 \mathbf{y}_{k+1} 可寫為 \mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_k 的線性組合。同前,設 \beta_{k+1}\neq 0,則 \mathbf{x}_{k+1} 可表示為 \mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_{k+1},\mathbf{x}_{k+2},\ldots,\mathbf{x}_n 的線性組合,而且此向量集生成 \mathcal{V}。使用歸納法將所有的 \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n 替換為 \mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_n,也就有 \hbox{span}\{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_n\}=\mathcal{V}。然而,\{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m\} 是一個線性獨立集,推論 m=n

[2] 在向量空間 \mathcal{P},零多項式為 0(t)=0 (t 是任意數)。若 p(t)=\sum_{k=0}^\infty a_kt^kq(t)=\sum_{k=0}^\infty b_kt^k 屬於 \mathcal{P}c\in\mathbb{C},定義向量加法與純量乘法:

\begin{aligned} (p+q)(t)&=p(t)+q(t)=\sum_{k=0}^\infty(a_k+b_k)t^k,\\ (cp)(t)&=cp(t)=\sum_{k=0}^\infty ca_kt^k.\end{aligned}

在向量空間 \mathbb{R}^\infty,零序列為 (0,0,\ldots)。若 (x_1,x_2,\ldots)(y_1,y_2,\ldots) 屬於 \mathbb{R}^\infty,定義向量加法與純量乘法:

\begin{aligned} (x_1,x_2,\ldots)+(y_1,y_2,\ldots)&=(x_1+y_1,x_2+y_2,\ldots),\\ c(x_1,x_2,\ldots)&=(cx_1,cx_2,\ldots).\end{aligned}

在向量空間 \mathcal{C}[0,1],設 x(t),y(t)\in\mathcal{C}[0,1]。對於所有的 t\in[0,1],若 x(t)=y(t),我們說 x=y。零函數 0 使得所有的 t 滿足 0(t)=0。若 x(t),y(t)\in\mathcal{C}[0,1]c 為一個數,定義向量加法 (x+y)(t)=x(t)+y(t) 與純量乘法 (cx)(t)=cx(t)

[3] 假設 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\} 是一個線性相關向量集。令 k2n 的最小整數使得 \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_k 線性相關。因此,存在不全為零的數組 c_1,\ldots,c_k 使得 c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_k\mathbf{x}_k=\mathbf{0},且 c_k\neq 0,否則 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_{k-1}\} 會是一個更小的線性相關集。寫出 \mathbf{x}_k=-\frac{1}{c_k}(c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_{k-1}\mathbf{x}_{k-1}),故證明所求。反過來說,若非零向量 \mathbf{x}_k=c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_{k-1}\mathbf{x}_{k-1}2\le k\le n,則至少有一 c_i\neq 0,故存在不全為零的數組 c_1,\ldots,c_n 使得 c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_n\mathbf{x}_n=\mathbf{0},證明 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\} 是線性相關的。

[4] 使用反證法。假設 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\} 為向量空間 \mathcal{V} 的一組基底。若 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n,\mathbf{y}\} 是線性獨立的,定理一說 \mathbf{y} 不能表示為 \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n 的線性組合,這與基底可生成 \mathcal{V} 相矛盾,故得證。

[5] 證明見“基底與維數常見問答集”,Q6。

[6] 實數集是不可數的,證明見維基百科:對角論證法

[7] 假設 t_1,\ldots,t_m 彼此相異且 \sum_{k=0}^nc_kp_k(t_i)=\sum_{k=0}^nc_kt_i^k=0i=1,\ldots,m,或表示為矩陣形式 A\mathbf{c}=\mathbf{0},如下:

\begin{bmatrix} 1&t_1&t_1^2&\cdots&t_1^n\\ 1&t_2&t_2^2&\cdots&t_2^n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&t_m&t_m^2&\cdots&t_m^n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_0\\ c_1\\ c_2\\ \vdots\\ c_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{bmatrix}

m\ge n+1,則 \hbox{rank}(A)=n+1 (見“線性世界的根基──疊加原理”),意味 c_i=0i=0,1,\ldots,n

[8] 令 I\subset\mathbb{N} 為一個有限集合。我們要證明 \{\mathbf{e}_i\}_{i\in I} 是一個線性獨立集。設 \sum_{i\in I}c_i\mathbf{e}_i=\mathbf{0},比較等號兩邊序列的第 i 個元,立得 c_i=0i\in I,證畢。

[9] 對於線性算子 D\mathbf{x}_\lambda=(1,\lambda,\lambda^2,\ldots) 是對應特徵值 \lambda 的特徵向量,這個概念可用於解常係數線性遞迴關係式,詳見“常係數線性遞迴關係式 (上)”。

[10] 參閱維基百科:Zermelo–Fraenkel set theory

[11] 引用自維基百科:Axiom of choice

[12] 平行公設:如果一條線段與兩條直線相交,在某一側的內角和小於兩直角和,那麼這兩條直線在不斷延伸後,會在內角和小於兩直角和的一側相交。詳見維基百科:平行公設

[13] 空集合 \emptyset 是線性獨立的。

[14] 我們先證明存在性。令 \mathbf{v}\in\mathcal{V}。若 \mathbf{v}\in B,定義 \phi(\mathbf{v})=1\phi(\mathbf{x})=\mathbf{0},其中 \mathbf{x}\in B\mathbf{x}\neq\mathbf{v},則 \sum_{\mathbf{x}\in B}\phi(\mathbf{x})\mathbf{x}=1\mathbf{v}=\mathbf{v}。假設 \mathbf{v}\notin B。因為 B\cup\{\mathbf{v}\} 是線性相關的 (B 是最大線性獨立集),存在有限集 \{\mathbf{v},\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\}\subset B\cup\{\mathbf{v}\} 以及不全為零的有限數組 c_0,c_1,\ldots,c_n\in\mathcal{F} 使得

c_0\mathbf{v}+c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_n\mathbf{x}_n=\mathbf{0}

其中 c_0\neq 0,否則 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\} 是一個線性相關集。因此,

\displaystyle \mathbf{v}=-\frac{c_1}{c_0}\mathbf{x}_1-\cdots-\frac{c_n}{c_0}\mathbf{x}_n

定義 \phi(\mathbf{x}_i)=-\frac{c_i}{c_0}i=1,\ldots,n,且 \phi(\mathbf{x})=0\mathbf{x}\in B\setminus\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\}。所以,\mathbf{v}=\sum_{\mathbf{x}\in B}\phi(\mathbf{x})\mathbf{x}。欲證明唯一性,假設 \sum_{\mathbf{x}\in B}\phi_1(\mathbf{x})\mathbf{x}=\sum_{\mathbf{x}\in B}\phi_2(\mathbf{x})\mathbf{x},即有 \sum_{\mathbf{x}\in B}(\phi_1(\mathbf{x})-\phi_2(\mathbf{x}))\mathbf{x}=0,上式包含有限個向量的線性組合。根據線性獨立集的定義,對於每一 \mathbf{x}\in B\phi_1(\mathbf{x})-\phi_2(\mathbf{x})=0,證明 \phi_1=\phi_2

[15] 令 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\} 為向量空間 \mathcal{V} 的一組基底。任一 \mathbf{x}\in\mathcal{V} 可表示為 \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n 的線性組合。若 \mathbf{x}=\sum_{i=1}^nc_i\mathbf{x}_i=\sum_{i=1}^nd_i\mathbf{x}_i,則 \sum_{i=1}^n(c_i-d_i)\mathbf{x}_i=\mathbf{0}。但 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\} 是一個線性獨立集,推得 c_i-d_i=0i=1,\ldots,n

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2 則回應給 無限維向量空間的基底

  1. lee 說道:

    獲益良多

  2. wonderlandtommy 說道:

    可以證明 Hilbert Space 乃至 L^p space 都是完備度量空間,但不能用Bolzano-Weierstrass定理

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