如何學好線性代數?

線性代數是美國數學教授哈爾莫斯 (Paul R. Halmos) 的專長,他在26歲時出版了一本經典教材《有限維向量空間》(Finite-Dimensional Vector Spaces)。哈爾莫斯在回憶錄《我要做數學家》(I Want to Be a Mathematician) 談到他第一次學習線性代數的悲慘遭遇[1]

代數課很難,我讀得很生氣。…當我說生氣,我是真的生氣。Brahana 不知道如何說清楚,我們的教材是 Bôcher 的書 (我認為寫得一團糟),我花在這個科目的多數時間裡,我的主要情緒惱火達到憤怒。…不知怎麼的,我的線性代數導論最後倖存下來。過了四、五年,在我取得博士學位,聽了諾伊曼 (von Neumann) 講的算子理論後,我才真正開始明白這個科目到底在講甚麼。

 
為甚麼線性代數這麼難?從哈爾莫斯說的這段話可以歸結兩個原因:第一是老師很爛,第二是課本很糟。如果學習一門科目的兩個重要 (必要?) 條件不是爛就是糟,我們還能冀望學好它嗎?不過話說回來,即使哈爾莫斯的線性代數啟蒙老師是數學大師諾伊曼,哈爾莫斯未必當下就能真正明白線性代數在講甚麼。我說的真正明白不是指考試拿高分,而是有一天你在洗澡時豁然開悟,奔出浴室光著身子在馬路上邊跑邊叫:「啊哈!我明白了!」老實講,我不認為有那個老師或那本教科書可以讓學生「第一次學線代就上手」。真正全面性的理解線性代數需要時間,需要勤奮練習與堅持思考。

 
客觀上,線性代數之所以不容易學好的主要原因在於這個科目是由許多「人造的概念」架構而成的理論,而且它們經常以公設化的形式出現:定義─定理─證明 (其實近代數學基本上都是這樣)。美國作家梭羅 (Henry David Thoreau) 說[2]:「任何傻瓜訂個規則,就有笨蛋在意它。」數學家制定這些定義與公設的背後當然有其動機與目的 (數學家們又不是傻瓜),但在老師與課本都隻字不提的情況下,基於甚麼信念我們要接受這套幾乎與日常生活經驗無關的理論?(我們也不是笨蛋,對吧?)

 
人們不可能理解毫無動機的定義與缺少目的的定理。俄國數學家阿諾爾德 (Vladimir Arnold) 在〈論數學教育〉說[3]

理解乘法交換律的唯一可能的方式,打個比方就是分別按行序和列序來數一個陣列裏士兵的人數,或者說用兩種方式來計算長方形的面積 (見“傻瓜的規則”)。任何試圖只做不與物理和現實世界打交道的數學都屬於宗派主義和孤立主義,這必將損毀在所有敏感的人們眼中把數學創造視為一項有用的人類活動的美好印象。

遺憾的是,理解線性代數的核心觀念與內容沒有甚麼唯一可能的方式,把物理和現實世界拉進來常常也起不了多少作用。許多學生暗地隱藏心中的困惑與懷疑,繼續偽裝成線性代數愛好者的一個現實原因是他們聽別人說:「線性代數是一門應用廣泛的重要基礎課目」,於是懷抱著一絲盼望,期待有朝一日經過苦痛學來的線性代數終會發光發熱 (見“學線性代數有什麼用?”)。這些學生至少還留下一點火種,另外一批學生或早或晚將放棄線性代數,從此對任何與矩陣運算有關的學科敬而遠之。美國計算機科學教授鮑許 (Randy Pausch) 在〈最後一課〉(The Last Lecture) 說[4]:「人生路上有阻擋你夢想的磚牆,那是有原因的。這些磚牆讓我們來證明我們究竟有多麼想要得到我們所想要的。」線性代數是一道磚牆。接下來我要講的話是給那些想翻越這道磚牆的人聽的。

 
英國數學家哈代 (G. H. Hardy) 說[5]:「數學家的模式,如畫家或詩人的模式一定是美麗的;數學家的想法,如色彩或文字必須以和諧的方式結合在一起。美是首要的試金石:醜陋的數學不可能永存。」線性代數是一個優美凝鍊的數學分支。線性代數像是巴哈 (巴赫,J. S. Bach) 的〈無伴奏大提琴組曲〉,巴哈在這裡構建了一種循序漸進和連貫統一的風格,每首組曲在結構上都按照嚴格的曲式譜成。而在音樂發展的過程中,每個樂章之間的內在聯繫更是交響曲的先聲[6]。線性代數的結構是向量空間,曲式是線性變換。線性代數的樂章有矩陣代數、正交、行列式、特徵值與特徵向量,以及二次型等。研習線性代數與演奏〈無伴奏大提琴組曲〉同樣都需要有效的學習方法。

 
回到標題,如何學好線性代數?哈爾莫斯從不知道線性代數到底在講甚麼,短短幾年變身為一代宗師,他是怎麼辦到的?哈爾莫斯公開了他的數學學習秘笈[7]

別只是讀;跟它對抗!問你自己的問題,找你自己的例子,發現你自己的證明。這個假設是必要的嗎?反向命題成立嗎?經典的特例有哪些情況?退化時會怎麼樣?證明在何處使用了假設?

 
在〈無伴奏大提琴組曲〉中,有些樂章 (如 Sarabande) 的音樂性格和內容與其他樂章明顯不同。在線性代數中,兩個數學物件常具有某種相異的性質卻又有一些相同的性質。譬如,在一般情況下,兩個同階方陣 AB 不滿足乘法交換律,AB\neq BA,但是 \det(AB)=\det(BA)。讀了課本的證明,你可能依然困惑。哈爾莫斯鼓勵我們提出「蠢問題」。譬如,\det(AB)\det(BA) 的幾何意義是甚麼?ABBA 是否擁有其他的基本不變量使得行列式不改變 (見“AB 與 BA 有何關係?”)?繼續推廣,三個同階方陣 A, B, C 的乘積 ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA 除了行列式不變,是否還有其他相同的性質?一般來說,無論老師或課本都不會主動地回答我們的「蠢問題」。教師常以「世界上沒有愚蠢的問題,只有愚蠢的答案」呼籲學生發問,但絕少學生願意公開提出他們心中的「蠢問題」。弔詭的是,回答「蠢問題」偏偏是研習線性代數的一個極為有效的途徑。底下列舉一些困擾我們卻又羞於啟齒的「蠢問題」供讀者思考,但我未將「蠢答案」貼上免得破壞眾人的學習樂趣。運氣好的話,你在這個網站上亂逛說不準可以找到「蠢答案」,當然「蠢答案」不會是大家都認同的標準答案。

 
蠢問題

Q1. 二階行列式定義為 \begin{vmatrix}  a&b\\  c&d  \end{vmatrix}=ad-bc,為甚麼不定義為 \begin{vmatrix}  a&b\\  c&d  \end{vmatrix}=bc-ad

Q2. 一個 2\times 2 階矩陣 \begin{bmatrix}  a&b\\  c&d  \end{bmatrix} 的行列式是平面上兩個向量 \begin{bmatrix}  a\\  c  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  b\\  d  \end{bmatrix}(a,b)(c,d) 所張平行四邊形的 (有號) 面積。三維空間的兩個向量 \begin{bmatrix}  a\\  c\\  e  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  b\\  d\\  f  \end{bmatrix} 也張開一平行四邊形,我們何不定義 3\times 2 階矩陣 \begin{bmatrix}  a&b\\  c&d\\  e&f  \end{bmatrix} 的「行列式」為該平行四邊形的面積?

Q3. 怎麼解釋 \begin{vmatrix}  a&b\\  c&d  \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}  a&b\\  2a+c&2b+d  \end{vmatrix},但 \begin{vmatrix}  a&b\\  c&d  \end{vmatrix}\neq\begin{vmatrix}  a&b\\  a+2c&b+2d  \end{vmatrix}

Q4. 為甚麼兩個向量 \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\mathbf{y}=(y_1,y_2,y_3) 沒有乘法運算卻有外積 (cross product)?譬如,為甚麼不定義向量乘法 \mathbf{x}\times\mathbf{y}=(x_1y_1,x_2y_2,x_3y_3)

Q5. 如何理解一個矩陣的最大線性獨立的行向量數 (行秩,column rank) 等於最大線性獨立的列向量數 (列秩,row rank)?

Q6. 為甚麼 2\times 2 階矩陣形成的集合可稱為向量空間?既然平面上向量是一個具有方向與長度的數學物件,如何理解矩陣 \begin{bmatrix}  a&b\\  c&d  \end{bmatrix} 的方向與長度?我們需要引入甚麼必要的運算?

Q7. 行列式可乘公式 \det(AB)=(\det A)(\det B),即兩個同階方陣乘積的行列式為等於這兩個方陣的行列式的乘積,這個事實的幾何意義是甚麼?

Q8. 矩陣乘法不具有交換律,為甚麼不定義一種矩陣乘法使得同階方陣的乘積具有交換律?

Q9. 「線性」是甚麼意思?為甚麼向量空間也稱為線性空間?對於向量 \mathbf{x},\mathbf{y} 與純量 \alpha,線性變換 T 滿足 T(\mathbf{x}+\mathbf{y})=T(\mathbf{x})+T(\mathbf{y})T(\alpha\mathbf{x})=\alpha T(\mathbf{x}),何以具備這兩個性質就稱為線性變換?

Q10. 為甚麼線性變換的定義域與到達域都限定為向量空間 (或子空間) 而非任意的向量集合?

Q11. 向量空間的一個子空間為甚麼一定要包含零向量?為甚麼 ax+by=0 的解集合稱為子空間,但 ax+by+c=0c\neq 0,的解集合卻不稱為子空間?

Q12. 一個線性變換可以用不同的矩陣來表示,那麼不同的線性變換可以用相同的矩陣來表示嗎?

Q13. 為甚麼線性代數課本都沒有討論如何解矩陣方程,譬如,滿足 X^2=I 以及 Y^2=Y2\times 2 階矩陣 XY 要怎麼解?

 
註解
[1] Paul R. Halmos, I Want to Be a Mathematician, 1985, pp 40-41. 原文:“The algebra course was hard and I worked at it furiously;…When I say furiously, I mean furiously. Brahana didn’t know how to be clear, the text was Bôcher’s book (which I thought was mess), and my dominant emotion during much of the time that I spent on the subject was exasperation reaching to anger….somehow I survive my introduction to linear algebra. I didn’t really begin to understand what the subject was about till four or five years later, after I got my Ph.D. and heard von Neumann talk about operator theory.”
[2] 原文:“Any fool can make a rule, and any fool will mind it.”
[3] 英譯文:“It is only possible to understand the commutativity of multiplication by counting and re-counting soldiers by ranks and files or by calculating the area of a rectangle in the two ways. Any attempt to do without this interference by physics and reality into mathematics is sectarianism and isolationism which destroy the image of mathematics as a useful human activity in the eyes of all sensible people.”
[4] 原文:“Brick walls are there for a reason: they let us prove how badly we want things.”
[5] 原文:“The mathematician’s patterns, like the painter’s or the poet’s must be beautiful; the ideas, like the colours or the words must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in this world for ugly mathematics.”
[6] 引用自維基百科:無伴奏大提琴組曲
[7] 原文:“Don’t just read it; fight it! Ask your own questions, look for your own examples, discover your own proofs. Is the hypothesis necessary? Is the converse true? What happens in the classical special case? What about the degenerate cases? Where does the proof use the hypothesis?”

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