## 每週問題 February 29, 2016

Let $S=\{p_0(x),p_1(x),\ldots,p_n(x)\}$ be a subset of the vector space of all polynomials whose degrees do not exceed $n$. If the polynomials in $S$ share a common root $r$, then $S$ is linearly dependent.

$\mathcal{P}_n$ 表示次數不大於 $n$ 的多項式形成的向量空間。對於每一 $i$，設 $p_i(x)=(x-r)q_i(x)$，其中 $q_i(x)\in\mathcal{P}_{n-1}$。考慮 $c_0p_0(x)+c_1p_1(x)+\cdots+c_np_n(x)=0$，又等價於

$(x-r)\left(c_0q_0(x)+c_1q_1(x)+\cdots+c_nq_n(x)\right)=0$