每週問題 February 29, 2016

證明一線性相關的多項式集合的一個充分條件。

Let S=\{p_0(x),p_1(x),\ldots,p_n(x)\} be a subset of the vector space of all polynomials whose degrees do not exceed n. If the polynomials in S share a common root r, then S is linearly dependent.

 
參考解答:

\mathcal{P}_n 表示次數不大於 n 的多項式形成的向量空間。對於每一 i,設 p_i(x)=(x-r)q_i(x),其中 q_i(x)\in\mathcal{P}_{n-1}。考慮 c_0p_0(x)+c_1p_1(x)+\cdots+c_np_n(x)=0,又等價於

(x-r)\left(c_0q_0(x)+c_1q_1(x)+\cdots+c_nq_n(x)\right)=0

因為 \dim\mathcal{P}_{n-1}=nn+1 個多項式 q_0(x),q_1(x),\ldots,q_n(x)\in\mathcal{P}_{n-1} 必定是線性相關的,換句話說,存在不全為零的數組 c_0,c_1,\ldots,c_n 使得 c_0q_0(x)+c_1q_1(x)+\cdots+c_nq_n(x)=0,證畢。

廣告
本篇發表於 pow 向量空間, 每週問題 並標籤為 。將永久鏈結加入書籤。

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 / 變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 / 變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 / 變更 )

Google+ photo

您的留言將使用 Google+ 帳號。 登出 / 變更 )

連結到 %s