## 每週問題 March 7, 2016

Schwarz 不等式的等號成立的一個充要條件為兩個向量是線性相關的。

Let $\mathbf{x}$ and $\mathbf{y}$ be vectors in an inner product space, and $\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle$ denote the inner product of $\mathbf{x}$ and $\mathbf{y}$. Prove that if $\vert\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle\vert=\Vert\mathbf{x}\Vert\cdot\Vert\mathbf{y}\Vert$ (that is, the Schwarz inequality reduces to an equality), then $\mathbf{x}$ and $\mathbf{y}$ are linearly dependent.

$\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle=0$，則 $\Vert\mathbf{x}\Vert\cdot\Vert\mathbf{y}\Vert=0$，即有 $\mathbf{x}=\mathbf{0}$$\mathbf{y}=\mathbf{0}$，命題顯然成立。以下假設 $\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle\neq 0$。若 $\mathbf{y}=\mathbf{0}$，條件等式顯然成立，$\mathbf{x}$$\mathbf{y}$ 是線性相關的兩個向量。若 $\mathbf{y}\neq\mathbf{0}$，令

$\displaystyle \mathbf{z}=\mathbf{x}-\frac{\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle}{\left\langle\mathbf{y},\mathbf{y}\right\rangle}\mathbf{y}$

$\displaystyle \left\langle\mathbf{z},\mathbf{y}\right\rangle=\left\langle\mathbf{x}-\frac{\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle}{\left\langle\mathbf{y},\mathbf{y}\right\rangle}\mathbf{y},\mathbf{y}\right\rangle=\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle-\frac{\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle}{\left\langle\mathbf{y},\mathbf{y}\right\rangle}\left\langle\mathbf{y},\mathbf{y}\right\rangle=0$

$\displaystyle \mathbf{x}=\frac{\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle}{\left\langle\mathbf{y},\mathbf{y}\right\rangle}\mathbf{y}+\mathbf{z}$

$\displaystyle \Vert\mathbf{x}\Vert^2=\left|\frac{\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle}{\left\langle\mathbf{y},\mathbf{y}\right\rangle}\right|^2\Vert\mathbf{y}\Vert^2+\Vert\mathbf{z}\Vert^2=\frac{\Vert\mathbf{x}\Vert^2\cdot\Vert\mathbf{y}\Vert^2}{\Vert\mathbf{y}\Vert^2}+\Vert\mathbf{z}\Vert^2=\Vert\mathbf{x}\Vert^2+\Vert\mathbf{z}\Vert^2$