每週問題 March 7, 2016

Schwarz 不等式的等號成立的一個充要條件為兩個向量是線性相關的。

Let \mathbf{x} and \mathbf{y} be vectors in an inner product space, and \left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle denote the inner product of \mathbf{x} and \mathbf{y}. Prove that if \vert\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle\vert=\Vert\mathbf{x}\Vert\cdot\Vert\mathbf{y}\Vert (that is, the Schwarz inequality reduces to an equality), then \mathbf{x} and \mathbf{y} are linearly dependent.

 
參考解答:

\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle=0,則 \Vert\mathbf{x}\Vert\cdot\Vert\mathbf{y}\Vert=0,即有 \mathbf{x}=\mathbf{0}\mathbf{y}=\mathbf{0},命題顯然成立。以下假設 \left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle\neq 0。若 \mathbf{y}=\mathbf{0},條件等式顯然成立,\mathbf{x}\mathbf{y} 是線性相關的兩個向量。若 \mathbf{y}\neq\mathbf{0},令

\displaystyle  \mathbf{z}=\mathbf{x}-\frac{\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle}{\left\langle\mathbf{y},\mathbf{y}\right\rangle}\mathbf{y}

使用內積性質,

\displaystyle  \left\langle\mathbf{z},\mathbf{y}\right\rangle=\left\langle\mathbf{x}-\frac{\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle}{\left\langle\mathbf{y},\mathbf{y}\right\rangle}\mathbf{y},\mathbf{y}\right\rangle=\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle-\frac{\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle}{\left\langle\mathbf{y},\mathbf{y}\right\rangle}\left\langle\mathbf{y},\mathbf{y}\right\rangle=0

故知 \mathbf{z}\perp\mathbf{y}。應用畢氏定理於

\displaystyle  \mathbf{x}=\frac{\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle}{\left\langle\mathbf{y},\mathbf{y}\right\rangle}\mathbf{y}+\mathbf{z}

可得

\displaystyle  \Vert\mathbf{x}\Vert^2=\left|\frac{\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle}{\left\langle\mathbf{y},\mathbf{y}\right\rangle}\right|^2\Vert\mathbf{y}\Vert^2+\Vert\mathbf{z}\Vert^2=\frac{\Vert\mathbf{x}\Vert^2\cdot\Vert\mathbf{y}\Vert^2}{\Vert\mathbf{y}\Vert^2}+\Vert\mathbf{z}\Vert^2=\Vert\mathbf{x}\Vert^2+\Vert\mathbf{z}\Vert^2

因此 \Vert\mathbf{z}\Vert^2=0,推得 \mathbf{z}=\mathbf{0},即 \mathbf{x}=\frac{\left\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\right\rangle}{\left\langle\mathbf{y},\mathbf{y}\right\rangle}\mathbf{y},證明 \mathbf{x}\mathbf{y} 是線性相關的兩個向量。

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