每週問題 March 14, 2016

證明維數定理:一個有限維向量空間的任兩組基底有相同的元素數。

Prove that the number of elements in any basis of a finite-dimensional vector space is the same as in any other basis.

 
參考解答:

假設 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\}\{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m\} 是向量空間 \mathcal{V} 的兩組基底。在不失一般性的原則下,假設 m\ge n。因為 \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n 構成一組基底,\mathbf{y}_1 可表示為 \mathbf{y}_1=\sum_{i=1}^nc_i\mathbf{x}_i。但 \mathbf{y}_1\neq\mathbf{0},可知至少存在一個非零 c_i。如有必要,將 \mathbf{x}_i 的指標排序使得 c_1\neq 0,則 \mathbf{x}_1 可表示為 \mathbf{y}_1,\mathbf{x}_2,\ldots,\mathbf{x}_n 的線性組合,

\displaystyle \mathbf{x}_1=\frac{1}{c_1}\mathbf{y}_1-\frac{1}{c_1}\sum_{i=2}^nc_i\mathbf{x}_i

因此,\mathcal{V}=\hbox{span}\{\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\ldots,\mathbf{x}_n\}=\hbox{span}\{\mathbf{y}_1,\mathbf{x}_2,\ldots,\mathbf{x}_n\}。重複上述程序,假設 \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_k 依序被替換為 \mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_k,向量 \mathbf{y}_{k+1} 可表示為 \mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_k,\mathbf{x}_{k+1},\ldots,\mathbf{x}_n 的線性組合,

\displaystyle \mathbf{y}_{k+1}=\sum_{i=1}^k\alpha_i\mathbf{y}_i+\sum_{i=k+1}^n\beta_i\mathbf{x}_i

因為 \{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_{k+1}\} 是一個線性獨立集,至少存在一個係數 \beta_i 不為零,否則 \mathbf{y}_{k+1} 可寫為 \mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_k 的線性組合。同前,設 \beta_{k+1}\neq 0,則 \mathbf{x}_{k+1} 可表示為 \mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_{k+1},\mathbf{x}_{k+2},\ldots,\mathbf{x}_n 的線性組合,而且此向量集生成 \mathcal{V}。使用歸納法,將所有的 \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n 替換為 \mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_n,也就有 \hbox{span}\{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_n\}=\mathcal{V}。但 \{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m\} 是一個線性獨立集,證明 m=n

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