每週問題 March 21, 2016

在有限維向量空間的任何一個線性獨立向量集都可擴大成為一組基底。

If \mathcal{V} is a finite-dimensional vector space and if \{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m\} is any set of linearly independent vectors in \mathcal{V}, prove that, unless \{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m\} already form a basis, we can find vectors \mathbf{y}_{m+1},\ldots,\mathbf{y}_{m+p} so that \{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m,\mathbf{y}_{m+1},\ldots,\mathbf{y}_{m+p}\} is a basis.

 
參考解答:

假設 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\} 是有限維向量空間 \mathcal{V} 的一組基底。考慮向量集

S=\{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m,\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\}

其中所有的 \mathbf{y}_i 都可表示為 \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n 的線性組合,因此 S 是一個線性相關集。從 \mathbf{x}_1\mathbf{x}_n 依序逐一檢查,設 \mathbf{x}_i 是第一個向量可表示為 \mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m,\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_{i-1} 的線性組合。令

S'=\{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m,\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_{i-1},\mathbf{x}_{i+1},\ldots,\mathbf{x}_n\}

請注意,\hbox{span}S'=\hbox{span}S=\mathcal{V}\{\mathbf{y}_1,\ldots,\mathbf{y}_m,\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_{i-1}\}S' 的一個線性獨立子集。如果 S' 是線性獨立的,則 S' 即為 \mathcal{V} 的一組基底。如果 S' 是線性相關的,重複上述程序從 \mathbf{x}_{i+1}\mathbf{x}_n 依序剔除多餘向量 \mathbf{x}_j,直到產生一個線性獨立集 S_0。因為 \hbox{span}S_0=\mathcal{V}S_0\mathcal{V} 的一組基底。

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