證明細解 2

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A 為一個 n\times n 階矩陣。若存在同階矩陣 A^{-1} 使得 A^{-1}A=AA^{-1}=I,則 A 稱為可逆 (invertible) 矩陣。若 An 個線性獨立的行 (column) 與列 (row),即滿秩,記作 \hbox{rank}A=n,則 A 稱為非奇異 (nonsingular) 或非退化 (nondegenerate) 矩陣。可逆矩陣與非奇異矩陣是同義的。我們要證明可逆矩陣的一個充要條件:可逆矩陣不具備「毀滅性」的矩陣乘法,詳述於下列定理。

 
定理. 令 A 為一個 n\times n 階矩陣。每一個 n\times n 階非零矩陣 B 使得 AB\neq 0 若且惟若 A 是一個可逆矩陣。

 
福爾摩斯 (Sherlock Holmes) 說[1]:「犯罪偵查的第一法則是:你必須尋找各種可能解釋事情的方法,然後想辦法看看能否推翻它。」數學證明好比犯罪偵查,我將上面這句話改成:「數學證明的第一法則是:你必須尋找與問題相關的各種充分必要條件,然後想辦法看看能否運用它推理出結論。」可逆矩陣有很多的充要條件,下面列舉幾個 (見“可逆矩陣定理”):

  • A\mathbf{x}=\mathbf{0} 僅存在平凡解 \mathbf{x}=\mathbf{0},即 A 的零空間 (nullspace) 為 N(A)=\{\mathbf{0}\}
  • 對於每一個向量 \mathbf{b}A\mathbf{x}=\mathbf{b} 有唯一解;
  • A 列等價 (row equivalent) 於單位矩陣 I
  • \det A\neq 0
  • A 的特徵值不為 0

形象化的說法是,可逆矩陣 A 代表的映射 \mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x} 不會消滅任何一個向量,除非 \mathbf{x} 本身就是零向量。

 
福爾摩斯說[2]:「犯罪是普遍的,而邏輯是難得的。因此,你應該關注於邏輯而非犯罪本身。」一旦掌握了足夠的材料,下一步要選定邏輯推理方式。一般來說,陳述 P\to Q 有三種證法 (見“反證法與逆否命題法”):

  1. 直接證法是建構式證明,假定條件 P 成立,設法推理出 Q
  2. 反證法假定命題 Q 不為真,設法推理出 P\wedge \neg Q\to \neg R,其中 R 是否個已知成立的條件,譬如,R=PR=\neg Q
  3. 逆否命題法證明 P\to Q 的等價陳述 \neg Q\to\neg P

當命題 Q 易於作否定陳述時,我們可以考慮反證法或逆否命題法,兩者的主要差異在反證法使用條件 P\neg Q,而逆否命題法僅使用 \neg Q。如果逆否命題法僅從條件 \neg Q 便可證出 \neg P,這時就沒有必要使用反證法,因為後者除了使用條件 \neg Q 還要求使用 P

 
(\Leftarrow) 假設 B\neq 0A 是可逆的,目標要證明 AB\neq 0。非零矩陣 AB 的等價條件提供兩種可能的證明途徑:

  • AB 至少有一個元不為零;
  • \hbox{rank}(AB)>0

 
證明 1. 要找出 AB 的一個非零元並不容易,但找出一個非零行卻不困難,原因在於線性代數所處理的基本數學物件是向量而非數。寫出矩陣 B 的行向量表達,B=\begin{bmatrix}  \mathbf{b}_1&\cdots&\mathbf{b}_n  \end{bmatrix}。矩陣乘法定義

AB=A\begin{bmatrix}  \mathbf{b}_1&\cdots&\mathbf{b}_n  \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  A\mathbf{b}_1&\cdots&A\mathbf{b}_n  \end{bmatrix}

表明 A\mathbf{b}_j 即為 AB 的第 j 行。給定條件 B\neq 0 說明至少有一個非零行向量 \mathbf{b}_j,可逆矩陣 A 保證 A\mathbf{b}_j\neq\mathbf{0} (否則 \mathbf{b}_j=A^{-1}A\mathbf{b}_j=\mathbf{0}),證畢。

 
可逆矩陣 A 左乘任何一個矩陣 B 不改變其秩。換句話說,若 AB 列等價於 B,則 \hbox{rank}(AB)=\hbox{rank}B。你不僅應熟悉這個性質,更要知道如何證明它。秩—零度定理說

\hbox{rank}(AB)=n-\dim N(AB),~~\hbox{rank}B=n-\dim N(B)

因此,\hbox{rank}(AB)=\hbox{rank}B 等價於 \dim N(AB)=\dim N(B)。事實上,ABB 有相同的零空間,N(AB)=N(B)。在解線性方程的計算過程,我們使用基本矩陣 (elementary matrix,對應基本列運算的矩陣) 將齊次方程 B\mathbf{x}=\mathbf{0} 化簡為 EB\mathbf{x}=\mathbf{0} 所依據的正是零空間的不變性。要證明兩個子空間相同的最直接方式是證明它們彼此包容,即 N(B)\subseteq N(AB)N(AB)\subseteq N(B),推理如下:

\begin{aligned}  \mathbf{x}\in N(B)&\Rightarrow B\mathbf{x}=\mathbf{0}\\  &\Rightarrow AB\mathbf{x}=\mathbf{0}\\  &\Rightarrow\mathbf{x}\in N(AB).  \end{aligned}

類似地,

\begin{aligned}  \mathbf{x}\in N(AB)&\Rightarrow AB\mathbf{x}=\mathbf{0}\\  &\Rightarrow A^{-1}AB\mathbf{x}=B\mathbf{x}=\mathbf{0}\\  &\Rightarrow\mathbf{x}\in N(B).  \end{aligned}

 
證明 2. 假設 A 是一個可逆矩陣且 B\neq 0,立即得到

\begin{aligned}  B\neq 0&\Rightarrow \hbox{rank}B>0\\  &\Rightarrow \hbox{rank}(AB)>0\\  &\Rightarrow AB\neq 0.  \end{aligned}

 
(\Rightarrow) 假設每一個非零矩陣 B 使得 AB\neq 0,我們要證明 A 是可逆的。底下介紹一個逆否命題證法與兩個直接證法。

 
證明 1. 採用逆否命題法,我們要從給定條件 A 是不可逆矩陣,證明存在一個 B\neq 0 滿足 AB=0。為方便推理,首先設定非零矩陣 B 的形式。最容易製造的一種非零矩陣是秩─1 矩陣,B=\mathbf{x}\mathbf{y}^T,其中 \mathbf{x}\mathbf{y} 是任意的非零行向量。明顯地,\hbox{rank}(\mathbf{x}\mathbf{y}^T)=1。剩下的工作是找出 \mathbf{x}\mathbf{y} 使得 AB=A\mathbf{x}\mathbf{y}^T=\mathbf{0}。因為 A 不可逆,A\mathbf{x}=\mathbf{0} 存在非平凡解 \mathbf{x}\neq\mathbf{0}。最後隨意選擇一個非零向量 \mathbf{y} 即證得所求。

 
證明 1 的論述可用向量空間解釋。矩陣 A 不可逆意味 N(A)\neq\{\mathbf{0}\},而 AB=0 表示任何一個向量 \mathbf{z} 都滿足 AB\mathbf{z}=\mathbf{0},換句話說,C(B)\subseteq N(A),其中 C(B) 代表 B 的行空間。合併以上結果,C(B) 是非空子空間 N(A) 中的子空間。

 
證明 2. 假設任一非零矩陣 B 使得 AB\neq 0。最樸實的直接證法是從已知條件推理出 \hbox{rank}A=n,意即 A 的零空間 N(A) 僅包含零向量。考愈一個特殊的矩陣 B=\begin{bmatrix}  \mathbf{b}&\mathbf{0}&\cdots&\mathbf{0}  \end{bmatrix},其中 \mathbf{b}\neq\mathbf{0},因此 AB=\begin{bmatrix}  A\mathbf{b}&\mathbf{0}&\cdots&\mathbf{0}  \end{bmatrix},其中 A\mathbf{b}\neq\mathbf{0}。但 \mathbf{b} 可以是任何一個非零向量,這樣就宣告 N(A)=\{\mathbf{0}\},證畢。

 
假設任一 B\neq 0 使得 AB\neq 0,能否直接證明存在 X 使得 AX=I?詳考後,我們決定從線性變換下手。

 
證明 3. 令 \mathbb{E}^{n\times n} (\mathbb{E}=\mathbb{R}\mathbb{E}=\mathbb{C}) 代表 n\times n 階實或複矩陣組成的向量空間。考慮線性變換 T:\mathbb{E}^{n\times n}\to\mathbb{E}^{n\times n} 定義為 T(B)=AB,其中 A,B\in\mathbb{E}^{n\times n}。因為不存在非零矩陣 B 使得 T(B)=0,推論 \ker(T)=\{0\},表明 T 是一對一 (或稱單射)。根據秩─零度定理,

\displaystyle \text{rank}T=\dim\mathbb{E}^{n\times n}-\dim\ker(T)=n^2-0=n^2

即知 T 是滿射。因此,存在唯一一個矩陣 X 使得 T(X)=AX=I,證明 A 是一個可逆矩陣。

 
福爾摩斯屢破奇案,他有甚麼獨門的犯罪偵查方法?福爾摩斯透露[3]:「你知道我的方法。它是建立在對瑣事的觀察上。」數學證明亦同,任何蛛絲馬跡都可能提供證明所須的線索,所以說,細節決定成敗。

 
註解
[1] 原文:“One should always look for a possible alternative and provide against it. It is the first rule of criminal investigation.”
[2] 原文:“Crime is common. Logic is rare. Therefore it is upon the logic rather than upon the crime that you should dwell.”
[3] 原文:“You know my method. It is founded upon the observation of trifles.”

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