每週問題 April 4, 2016

A^2=0,則 A 的最大秩是多少?

Let A be an n\times n matrix and A^2=0. What is the maximum value of \hbox{rank}A?

 
參考解答:

證明1. 若 A^2=AA=0,則 A 的行向量 (column vector) \mathbf{a}_j 滿足 A\mathbf{a}_j=\mathbf{0},也就是說 A 的行空間 C(A) 是零空間 (nullspace) N(A) 內的一個子空間,C(A)\subset N(A)。因此,\hbox{rank}A=\dim C(A)\le\dim N(A)。使用秩─零度定理,\dim N(A)=n-\hbox{rank}A,故 \hbox{rank}A\le\frac{n}{2},最大的秩為 \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor

證明2. A^2=0 表明 A 是一個冪零矩陣 (nilpotent matrix) 且指標 (index) 等於 2 (除非 A=0),意思是說 A 的 Jordan 形式的最大 Jordan 分塊為 \begin{bmatrix}  0&1\\  0&0  \end{bmatrix}。每一個 2\times 2 階 Jordan 分塊對應線性獨立的一個行,故 \hbox{rank}A 的最大值為 \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor

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