賦範向量空間

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向量空間是一種代數結構,其中定義兩個運算:向量加法與純量乘法。令 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\} 為向量空間 \mathcal{V} 的一組基底,意指 \{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n\} 是一個線性獨立集,且每一個向量 \mathbf{x}\in\mathcal{V} 可表示為 \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n 的線性組合 (見“基底與維數常見問答集”)。若基底是一個有限集,則 \mathcal{V} 稱為有限維向量空間,否則稱為無限維向量空間。有限維向量空間比無限維向量空間容易分析,但有限維向量空間的概念與定理未必適用無限維向量空間。用一個例子說明。令 \mathbb{R}^\infty 代表實序列 \mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots),或記為 \{x_n\},形成的無限維向量空間 (見“向量空間與實例”)。實序列空間 \mathbb{R}^\infty 似乎是有限維向量空間 \mathbb{R}^n 的直接推廣,實則不然。在 \mathbb{R}^\infty,兩個序列 (x_1,x_2,\ldots)(y_1,y_2,\ldots) 的加法定義為 (x_1,x_2,\ldots)+(y_1,y_2,\ldots)=(x_1+y_1,x_2+y_2,\ldots),純量 c\in\mathbb{R} 與序列 (x_1,x_2,\ldots) 的乘法定義為 c(x_1,x_2,\ldots)=(cx_1,cx_2,\ldots)。套用有限維向量空間 \mathbb{R}^n 的向量構造方式,

\displaystyle \mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots)=x_1(1,0,0,\ldots)+x_2(0,1,0,\ldots)+\cdots=\sum_{i=1}^\infty x_i\mathbf{e}_i

其中 \mathbf{e}_i=(0,\ldots,0,1,0,\ldots) 的第 i 元為 1,其餘元為 0。表面上,\mathbb{R}^\infty 是所有 \mathbf{e}_i 的「無限線性組合」構成的集合,但在一般情況下無窮多個向量之和未必是有意義的,譬如,(1,2,3,\ldots) 並不是一個收斂序列。如何才能使無窮多個向量之和具有意義呢?數學家想出一個方法:考慮無限多個向量 \mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\ldots 的部分和,\mathbf{s}_n=\sum_{i=1}^n\mathbf{x}_in=1,2,\ldots,並期待向量序列 \{\mathbf{s}_n\} 收斂至某個向量 \mathbf{s},也就是說隨著 n 增大,序列 \{\mathbf{s}_n\} 越來越接近 \mathbf{s}。要討論一個向量序列是否收斂的前提是我們須測量 \mathbf{s}_n\mathbf{s} 之間的「距離」,或者說 \mathbf{s}_n-\mathbf{s} 的「長度」。這裡加入引號的原因在於距離與長度是歐幾里得空間 \mathbb{R}^2\mathbb{R}^3 的幾何概念,歐幾里得距離的推廣稱為度量 (metric),幾何向量長度的推廣則稱為範數 (norm)。

 
範數

在歐幾里得空間 \mathbb{R}^3,我們可以測量向量 \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3) 的長度:\Vert\mathbf{x}\Vert=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}。範數是幾何向量長度的抽象推廣,採用公設化方式定義 (見“向量範數”):向量範數 \Vert\cdot\Vert 是向量空間 \mathcal{V} (佈於體 \mathcal{F}) 映至 \mathbb{R} 的一個函數,使得任意 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathcal{V}\alpha\in \mathcal{F} 滿足

  1. \Vert\mathbf{x}\Vert=0\Leftrightarrow \mathbf{x}=\mathbf{0}
  2. \Vert\alpha \mathbf{x}\Vert=\vert\alpha\vert\cdot\Vert\mathbf{x}\Vert
  3. \Vert\mathbf{x}+\mathbf{y}\Vert\le\Vert\mathbf{x}\Vert+\Vert\mathbf{y}\Vert

使用這三個條件,

0=\Vert\mathbf{0}\Vert=\Vert\mathbf{x}-\mathbf{x}\Vert\le\Vert\mathbf{x}\Vert+\Vert-\mathbf{x}\Vert=\Vert\mathbf{x}\Vert+\Vert\mathbf{x}\Vert=2\Vert\mathbf{x}\Vert

因此,任一向量 \mathbf{x}\in\mathcal{V} 恆有 \Vert\mathbf{x}\Vert\ge 0。有些學者將這個性質明確地寫入範數的定義條件中。條件 3 稱為三角不等式,所有與範數有關的不等式都源於三角不等式,下為一例。

 
引理 1. 給定任意向量 \mathbf{x}\mathbf{y}\Vert\mathbf{x}\Vert-\Vert\mathbf{y}\Vert\le\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert

寫出 \mathbf{x}=\mathbf{x}-\mathbf{y}+\mathbf{y} 即可證明,如下:

\Vert\mathbf{x}\Vert-\Vert\mathbf{y}\Vert=\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}+\mathbf{y}\Vert-\Vert\mathbf{y}\Vert\le\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert+\Vert\mathbf{y}\Vert-\Vert\mathbf{y}\Vert=\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert

 
賦範向量空間

通過定義範數,許多的向量空間可轉換為賦範向量空間 (normed vector space)。具體地說,一個賦範向量空間是二元組 (\mathcal{V},\Vert\cdot\Vert),其中 \mathcal{V} 是我們感興趣的向量空間,\Vert\cdot\Vert 是定義於 \mathcal{V} 的一個範數。請注意,同一個向量空間可以定義出不同的範數。

 
例 1. 在座標向量空間 \mathbb{R}^n,向量 \mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n) 的歐幾里得範數定義為

\Vert\mathbf{x}\Vert=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}

此外,底下也是合法的範數:

\begin{aligned} \Vert\mathbf{x}\Vert&=|x_1|+\cdots+|x_n|,\\ \Vert\mathbf{x}\Vert&=\max\{|x_1|,\ldots,|x_n|\}.\end{aligned}

不難證明這些函數符合上述範數的定義條件。

 
例 2. 令 \mathcal{E} 為包含有限個非零複數的序列所組成的向量空間,其中元素 \mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n,0,0,\ldots)=\sum_{i=1}^nx_i\mathbf{e}_i 的範數定義為

\Vert\mathbf{x}\Vert=|x_1|+|x_2|+\cdots+|x_n|

觀察即知上式符合範數的要求。

 
例 3. 令 l^pp\ge 1,表示所有的複序列 \mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots) 組成的向量空間使得

\displaystyle \sum_{i=1}^\infty|x_i|^p<\infty

我們可以證明 l^p 是一個向量空間 (詳見“歐幾里得空間的數學結構”)。在 l^p 空間,p─範數定義如下:

\displaystyle \Vert\mathbf{x}\Vert_p=\left(\sum_{i=1}^\infty|x_i|^p\right)^{1/p}

\mathbf{x}=\{x_n\}\mathbf{y}=\{y_n\} 屬於 l^p,Minkowski 不等式 (見“向量範數”)

\displaystyle \left(\sum_{i=1}^\infty\vert x_i+y_i\vert^p\right)^{1/p}\le \left(\sum_{i=1}^\infty\vert x_i\vert^p\right)^{1/p}+\left(\sum_{i=1}^\infty\vert y_i\vert^p\right)^{1/p}

即為三角不等式 \Vert\mathbf{x}+\mathbf{y}\Vert_p\le\Vert\mathbf{x}\Vert_p+\Vert\mathbf{y}\Vert_p

 
例 4. 令 \Omega\mathbb{R}^n 的一個有界閉集,\mathcal{C}(\Omega) 代表定義於 \Omega 的所有連續複值函數形成的一個向量空間。對於 f\in\mathcal{C}(\Omega),底下稱為一致範數 (uniform norm) 或最小上界範數 (sup norm):

\Vert f\Vert=\sup_{\mathbf{x}\in\Omega}|f(\mathbf{x})|

 
收斂性

在一個賦範向量空間,我們可以談論向量序列的收斂性。欲證明存在一個向量具備某個性質,常用的作法是構造一個向量序列收斂至一極限,然後證明此極限滿足該性質。這是收斂性之所以如此重要的主要原因。

 
對於一個實序列 (\alpha_1,\alpha_2,\ldots),我們說 \{\alpha_n\} 收斂至 \alpha 若對於任一 \epsilon>0,存在一個正整數 N 使得當 n>N\vert \alpha-\alpha_n\vert<\epsilon 恆真,記為 \lim_{n\to\infty}\alpha_n=\alpha\alpha_n\to \alpha。直白地說,收斂序列 \{\alpha_n\} 能夠任意逼近極限 \alpha。收斂的實序列可以推廣至收斂的向量序列。在一個賦範向量空間 (\mathcal{V},\Vert\cdot\Vert),若序列 \{\Vert\mathbf{x}-\mathbf{x}_n\Vert\} 收斂至 0,即 \Vert\mathbf{x}-\mathbf{x}_n\Vert\to 0,我們說向量序列 \{\mathbf{x}_n\} 收斂至 \mathbf{x},記為 \lim_{n\to\infty}\mathbf{x}_n=\mathbf{x}\mathbf{x}_n\to\mathbf{x}。利用引理 1,\Vert\mathbf{x}_n\Vert-\Vert\mathbf{x}\Vert\le\Vert\mathbf{x}_n-\mathbf{x}\Vert\Vert\mathbf{x}\Vert-\Vert\mathbf{x}_n\Vert\le\Vert\mathbf{x}-\mathbf{x}_n\Vert,合併可得 \left|\Vert\mathbf{x}_n\Vert-\Vert\mathbf{x}\Vert\right|\le\Vert\mathbf{x}_n-\mathbf{x}\Vert。因此,\Vert\mathbf{x}_n-\mathbf{x}\Vert\to 0 蘊含 \left|\Vert\mathbf{x}_n\Vert-\Vert\mathbf{x}\Vert\right|\to 0,也就是說 \mathbf{x}_n\to\mathbf{x} 蘊含 \Vert\mathbf{x}_n\Vert\to\Vert\mathbf{x}\Vert,即知範數 \Vert\cdot\Vert 為連續實值函數 (見定理 7)。

 
在座標向量空間 \mathbb{R}^n\mathbb{C}^n,若向量序列 \{\mathbf{x}_n\} 收斂,則向量的每一個元都收斂,反之亦然。不過,在其他的賦範向量空間,收斂性未必可用向量的元來界定。例如,在賦範向量空間 \mathcal{E},序列 \{\mathbf{e}_i\} 的每一個元都收斂至 0,但序列本身並不收斂至零序列 \mathbf{0}=(0,0,\ldots),因為所有的 i 都有 \Vert\mathbf{e}_i\Vert=1。定理 1 與 2 說明收斂序列的兩個基本性質。

 
定理 1. 若序列 \{\mathbf{x}_n\} 收斂,則極限是唯一的。

假設 \mathbf{x}_n\to\mathbf{x}\mathbf{x}_n\to\mathbf{y}。使用三角不等式,

\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert=\Vert\mathbf{x}-\mathbf{x}_n+\mathbf{x}_n-\mathbf{y}\Vert\le \Vert\mathbf{x}-\mathbf{x}_n\Vert+\Vert\mathbf{x}_n-\mathbf{y}\Vert\to 0

因此,\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert=0,證明 \mathbf{x}=\mathbf{y}

 
定理 2. 若 \mathbf{x}_n\to\mathbf{x}\mathbf{y}_n\to\mathbf{y}{\alpha_n}\to\alpha (\alpha_n\alpha 是純量),則 \mathbf{x}_n+\mathbf{y}_n\to\mathbf{x}+\mathbf{y}\alpha_n\mathbf{x}_n\to\alpha\mathbf{x}

根據範數的定義,

\Vert\mathbf{x}_n+\mathbf{y}_n-\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert\le\Vert\mathbf{x}_n-\mathbf{x}\Vert+\Vert\mathbf{y}_n-\mathbf{y}\Vert\to 0

而且

\begin{aligned} \Vert\alpha_n\mathbf{x}_n-\alpha\mathbf{x}\Vert&=\Vert(\alpha_n-\alpha)\mathbf{x}_n+\alpha(\mathbf{x}_n-\mathbf{x})\Vert\\ &\le\Vert(\alpha_n-\alpha)\mathbf{x}_n\Vert+\Vert\alpha(\mathbf{x}_n-\mathbf{x})\Vert\\ &=|\alpha_n-\alpha|\cdot\Vert\mathbf{x}_n\Vert+|\alpha|\cdot\Vert\mathbf{x}_n-\mathbf{x}\Vert\to 0.\end{aligned}

 
賦範向量空間引進收斂性,也就是說,如果你在向量空間 \mathcal{V} 定義出一個範數,收斂性便自動定義於 \mathcal{V}。若向量空間 \mathcal{V} 的兩個範數定義出相同的收斂性,則稱之為等價範數。精確地講,如果對於 \mathcal{V} 中每一個序列 \{\mathbf{x}_n\}\Vert\mathbf{x}_n\Vert_a\to 0\Vert\mathbf{x}_n\Vert_b\to 0 可互推,則 \Vert\cdot\Vert_a\Vert\cdot\Vert_b 為等價範數。例如,在歐幾里得空間 \mathbb{R}^2,下列為 \mathbf{x}=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2 的三個等價範數:

\Vert\mathbf{x}\Vert_a=\sqrt{x_1^2+x_2^2},~~\Vert\mathbf{x}\Vert_b=|x_1|+|x_2|,~~\Vert\mathbf{x}\Vert_c=\max\{|x_1|,|x_2|\}

事實上,在有限維賦範向量空間,任何兩個範數都是等價的 (見定理 4)。要證明這個命題,我們須使用等價範數的一個充要條件。

 
定理 3. 在向量空間 \mathcal{V},範數 \Vert\cdot\Vert_a\Vert\cdot\Vert_b 是等價的一個充要條件為存在正數 \alpha\beta 使得所有的 \mathbf{x}\in\mathcal{V} 滿足

\alpha\Vert\mathbf{x}\Vert_a\le\Vert\mathbf{x}\Vert_b\le\beta\Vert\mathbf{x}\Vert_a

充分性十分明顯,底下證明必要性。假設 \Vert\mathbf{x}_n\Vert_a\to 0\Vert\mathbf{x}_n\Vert_b\to 0 可互推。使用逆否命題法證明 \alpha\Vert\mathbf{x}\Vert_a\le\Vert\mathbf{x}\Vert_b。對於每一 \mathbf{x}\in\mathcal{V},假設不存在 \alpha>0 使得 \alpha\Vert\mathbf{x}\Vert_a\le\Vert\mathbf{x}\Vert_b。因此,對於每一個正整數 n,存在 \mathbf{x}_n\in\mathcal{V} 使得 \frac{1}{n}\Vert\mathbf{x}_n\Vert_a>\Vert\mathbf{x}_n\Vert_b。令 \mathbf{y}_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\frac{\mathbf{x}_n}{\Vert\mathbf{x}_n\Vert_b}。因此,\Vert\mathbf{y}_n\Vert_b=\frac{1}{\sqrt{n}}\to 0。另一方面,\Vert\mathbf{y}_n\Vert_a>n\Vert\mathbf{y}_n\Vert_b=\sqrt{n} 不收斂,證明 \Vert\cdot\Vert_a\Vert\cdot\Vert_b 並非等價範數。使用相同方法可證明 \beta 的存在性。

 
定理 4. 在有限維賦範向量空間 \mathcal{V},所有的範數都是等價的。

假設 \{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\} 為有限維向量空間 \mathcal{V} 的一組基底。對於任一非零向量[1] \mathbf{x}\in\mathcal{V},寫出 \mathbf{x}=\sum_{i=1}^nc_i\mathbf{v}_i。考慮 \mathcal{V} 的一個範數:

\displaystyle \Vert\mathbf{x}\Vert_a=\sqrt{\sum_{i=1}^n|c_i|^2}

假設 \Vert\cdot\Vert_b\mathcal{V} 的另一個範數。使用範數性質,可得

\displaystyle \Vert\mathbf{x}\Vert_b=\left\|\sum_{i=1}^nc_i\mathbf{v}_i\right\|\le\sum_{i=1}^n\Vert c_i\mathbf{v}_i\Vert_b=\sum_{i=1}^n|c_i|\cdot\Vert\mathbf{v}_i\Vert_b

根據 Cauchy 不等式

\displaystyle \sum_{i=1}^n|c_i|\cdot\Vert\mathbf{v}\Vert_b\le\sqrt{\sum_{i=1}^n|c_i|^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n\Vert\mathbf{v}_i\Vert_b^2}

因此,\Vert\mathbf{x}\Vert_b\le\beta\Vert\mathbf{x}\Vert_a,其中 \beta=\sqrt{\sum_{i=1}^n\Vert\mathbf{v}_i\Vert_b^2}。另一方面,寫出

\displaystyle \begin{aligned} \Vert\mathbf{x}\Vert_b&=\left\|\sum_{i=1}^nc_i\mathbf{v}_i\right\|_2\\ &=\left(\frac{\sqrt{\sum_{j=1}^n|c_j|^2}}{\sqrt{\sum_{j=1}^n|c_j|^2}}\right)\left\|\sum_{i=1}^nc_i\mathbf{v}_i\right\|_2\\ &=\sqrt{\sum_{j=1}^n|c_j|^2}\cdot\left\|\sum_{i=1}^n\frac{c_i}{\sqrt{\sum_{j=1}^n|c_j|^2}}\mathbf{v}_i\right\|_2. \end{aligned}

S=\left\{(b_1,\ldots,b_n)\in\mathbb{C}^n\left|\sum_{i=1}^n|b_i|^2=1\right.\right\}。因為 S 是一個緊集 (compact set) 且 \Vert\cdot\Vert_b 是一個連續實值函數,可知存在一最小值[2],設為 \alpha。因此,\alpha\Vert\mathbf{x}\Vert_a\le\Vert\mathbf{x}\Vert_b。合併以上結果,再套用定理 3 即得證。

 
拓樸概念與性質

賦範向量空間 (\mathcal{V},\Vert\cdot\Vert) 是一個度量空間 (metric space)。給定任意 \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathcal{V}

\displaystyle d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert

是定義於 \mathcal{V} 的一個度量 (見“歐幾里得空間的數學結構”)。度量空間的核心概念在於賦予集合的元素之間距離或鄰近性,稱之為拓撲結構 (度量空間是一個拓撲空間)。前述向量序列的收斂性也可以放在度量空間上討論。下面介紹一些基本的拓樸概念與性質[3]。令 S 為賦範向量空間 \mathcal{V} 的一個子集合。

  • 開球與閉球:對於 \mathbf{x}\in\mathcal{V}r 是一個正數,B(\mathbf{x},r)=\{\mathbf{y}\in\mathcal{V}|\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert<r\} 是中心為 \mathbf{x},半徑為 r 的一個開球 (open ball);\bar{B}(\mathbf{x},r)=\{\mathbf{y}\in\mathcal{V}|\Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert\le r\} 是一個閉球 (closed ball)。
  • 內點與內部:若存在 \epsilon>0 使得 B(\mathbf{x},\epsilon)\subseteq S,我們稱 \mathbf{x}S 的一個內點 (interior point)。形象的說法是,若存在一個以 \mathbf{x} 為中心的開球 B(\mathbf{x},\epsilon) 包在 S 裡面,則 \mathbf{x} 是集合 S 的一個內點。集合 S 的所有內點形成的集合稱為 S 的內部 (interior),記為 \hbox{int}(S)。打個比方,如果 S 是一顆帶皮的蘋果,\hbox{int}(S) 即是去了皮的蘋果。明顯地,\hbox{int}(S)\subseteq S。一個集合的內部可能是空集合,譬如,\mathbb{R}^2 的一個點或一條直線。
  • 開集:若 S=\hbox{int}(S),則 S 是一個開集 (open set)。空集合 \emptyset 是一個開集,因為 \hbox{int}(\emptyset) 也是空集合;整個向量空間 \mathcal{V} 是一個開集;所有的開球 B(\mathbf{x},r) 都是開集;\hbox{int}(S) 是開集,因為 \hbox{int}(S) 的所有元素都是內點。
  • 閉包點與閉包:給定 \epsilon>0,若存在一個 \mathbf{p}\in S 使得 \mathbf{p}\in B(\mathbf{x},\epsilon),我們稱 \mathbf{x}\in\mathcal{V}S 的一個閉包點 (closure point)。換句話說,\mathbf{x} 是一個閉包點若所有以 \mathbf{x} 為中心的開球 B(\mathbf{x},\epsilon) 包含至少一個 S 的元素。集合 S 的所有的閉包點形成的集合稱為 S 的閉包 (closure),記為 \hbox{cl}(S)。打個比喻,如果 S 是一顆去了皮的蘋果,則 \hbox{cl}(S) 是帶皮的蘋果。明顯地,S\subseteq \hbox{cl}(S)
  • 閉集:若 S=\hbox{cl}(S),則 S 是一個閉集 (closed set)。空集合 \emptyset 與整個向量空間 \mathcal{V} 是閉集[4];所有的閉球 \bar{B}(\mathbf{x},r) 是閉集;任何一個點都是閉集;\hbox{cl}(S) 是閉集,因為 \hbox{cl}(\hbox{cl}(S))=\hbox{cl}(S)。閉包 \hbox{cl}(S) 是包含 S 的最小閉集。

 
開集與閉集的集合運算具有下列性質:

  1. S 是一個開集,則 \mathcal{V}\setminus S 是一個閉集;若 S 是一個閉集,則 \mathcal{V}\setminus S 是一個開集 (證明見[5])。
  2. S_1,\ldots,S_k 是開集,則 \bigcap_iS_i 是一個開集。
  3. S_1,S_2,\ldots 是開集,則 \bigcup_iS_i 是一個開集。
  4. S_1,\ldots,S_k 是閉集,則 \bigcup_iS_i 是一個閉集。
  5. S_1,S_2,\ldots 是閉集,則 \bigcap_iS_i 是一個閉集。

 
賦範向量空間的拓樸結構提供收斂性的細緻分析。向量序列 \{\mathbf{x}_n\} 的收斂性可用開球描述:給定 \epsilon>0,若存在一自然數 N 使得當 n>N\mathbf{x}_n\in B(\mathbf{x},\epsilon),則 \mathbf{x}_n\to\mathbf{x}。收斂序列的封閉性可以用來界定閉集,替代原本閉集的定義,如定理 5 所述。定理 6 說所有的收斂序列的極限形成一個閉包。

 
定理 5. 在賦範向量空間 \mathcal{V}S 是一個閉集的一個充要條件為 \mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\ldots\in S\mathbf{x}_n\to\mathbf{x} 蘊含 \mathbf{x}\in S

(\Rightarrow):假設 S 是一個閉集,\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\ldots\in S\mathbf{x}_n\to\mathbf{x}。使用反證法。假設 \mathbf{x}\notin S。因為 S 是一個閉集,\mathcal{V}\setminus S 是一個開集。因此,存在 \epsilon>0 使得 B(\mathbf{x},\epsilon)\subseteq \mathcal{V}\setminus S。換句話說,若 \Vert\mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert<\epsilon,則 \mathbf{y}\notin S。另一方面,\mathbf{x}_n\to\mathbf{x} 意味 \Vert\mathbf{x}-\mathbf{x}_n\Vert\to 0,也就是說當 n 足夠大時,\Vert\mathbf{x}-\mathbf{x}_n\Vert<\epsilon。但 \mathbf{x}_n\in S,我們得到一個矛盾。

(\Leftarrow):假設任意 \mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\ldots\in S\mathbf{x}_n\to\mathbf{x} 皆使 \mathbf{x}\in S。使用反證法。假設 S 不是一個閉集,則 \mathcal{V}\setminus S 不是開集,即 S 有一個閉包點 \mathbf{x}\in \mathcal{V}\setminus S。在每一個開球 B(\mathbf{x},\frac{1}{n}),你可以選擇其中的一點 \mathbf{x}_n\in S (因為 \mathbf{x}S 的閉包點)。如此構造的序列 \{\mathbf{x}_n\} 將收斂至 \mathbf{x}\in S,這樣便得到一個矛盾。

 
定理 6. 令 S 是賦範向量空間 \mathcal{V} 的一個子集合。閉包 \hbox{cl}(S)S 包含的所有收斂序列 \{\mathbf{x}_n\} 的極限形成的集合:

\hbox{cl}(S)=\{\mathbf{x}\in\mathcal{V}|\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\ldots\in S,\mathbf{x}_n\to\mathbf{x}\}

證明於下:令 L=\{\mathbf{x}\in\mathcal{V}|\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\ldots\in S,\mathbf{x}_n\to\mathbf{x}\}。我們要證明 L\subseteq\hbox{cl}(S)\hbox{cl}(S)\subseteq L。使用逆否命題法證明 L\subseteq \hbox{cl}(S)。若 \mathbf{x}\notin \hbox{cl}(S),則存在 \epsilon>0 使得 B(\mathbf{x},\epsilon)\cap S=\emptyset。若 \{\mathbf{x}_n\}S 包含的任一序列,則 \mathbf{x}_i\notin B(\mathbf{x},\epsilon)i=1,2,\ldots。因此,\{\mathbf{x}_n\} 不會收斂至 \mathbf{x},證明 \mathbf{x}\notin L。接著證明 \hbox{cl}(S)\subseteq L,也就是說,如果 \mathbf{x}\in\hbox{cl}(S),則 S 包含某個序列 \{\mathbf{x}_n\} 收斂至 \mathbf{x}。分開兩種情況討論。若 \mathbf{x}\in S,只要令每一 i 滿足 \mathbf{x}_i=\mathbf{x} 即可。若 \mathbf{x}\in \hbox{cl}(S)\setminus S,即 \mathbf{x}S 的一個閉包點,則對於所有 \epsilon>0B(\mathbf{x},\epsilon)\cap S\neq\emptyset。我們可以在 B(\mathbf{x},\frac{1}{n})\cap S 裡面挑選一個點 \mathbf{x}_n,這樣構造的序列 \{\mathbf{x}_n\} 收斂至 \mathbf{x}

 
連續性

在探討無限維向量空間時,收斂性與連續性是兩個不可或缺的重要概念。在賦範向量空間,我們可以討論變換的連續性。令 (\mathcal{V},\Vert\cdot\Vert_{\mathcal{V}})(\mathcal{W},\Vert\cdot\Vert_{\mathcal{W}}) 為賦範向量空間。我們說變換 T:\mathcal{V}\to\mathcal{W}\mathbf{x}_0\in\mathcal{V} 是連續的,如果對於每一 \epsilon>0,存在 \delta>0 使得 \Vert\mathbf{x}_0-\mathbf{x}\Vert_{\mathcal{V}}<\delta 蘊含 \Vert T(\mathbf{x}_0)-T(\mathbf{x})\Vert_{\mathcal{W}}<\epsilon。請注意,連續性乃由 \mathcal{V}\mathcal{W} 的範數同時決定。在不造成混淆的前提下,以下 \mathcal{V}\mathcal{W} 的範數都以 \Vert\cdot\Vert 表示。若變換 T 於所有的 \mathbf{x}_0\in\mathcal{V} 都是連續的,我們稱 T 是一個連續變換 (或到處連續)。定理 7 闡明變換的連續性與向量序列的收斂性之間的關係。

 
定理 7. 令 T 是一個從賦範向量空間 \mathcal{V} 映至賦範向量空間 \mathcal{W} 的變換。變換 T\mathbf{x}_0\in\mathcal{V} 是連續的一個充要條件為 \mathbf{x}_n\to\mathbf{x}_0 蘊含 T(\mathbf{x}_n)\to T(\mathbf{x}_0)

必要性十分明顯。我們用反證法證明充分性。假設變換 T 在點 \mathbf{x}_0 是連續的,序列 \{\mathbf{x}_n\} 使得 \mathbf{x}_n\to\mathbf{x}_0T(\mathbf{x}_n)\nrightarrow\mathbf{x}_0。因此,對於某個 \epsilon>0 以及每一 N,存在 n>N 使得 \Vert T(\mathbf{x}_n)-T(\mathbf{x}_0)\Vert\ge\epsilon。因為 \mathbf{x}_n\to\mathbf{x}_0,對於每一 \epsilon>0,你可以找到一個點 \mathbf{x}_n 使得 \Vert\mathbf{x}_n-\mathbf{x}_0\Vert<\delta\Vert T(\mathbf{x}_n)-T(\mathbf{x}_0)\Vert<\epsilon,如此便得到一個矛盾。

 
變換 T:\mathcal{V}\to\mathcal{W} 稱為有界的 (bounded) 若存在一個正數 K 使得所有的 \mathbf{x}\in\mathcal{V} 滿足 \Vert T(\mathbf{x})\Vert\le K\Vert\mathbf{x}\Vert。接下來,我們介紹連續線性變換的兩個界定條件:線性變換 L 只要在一個點是連續的便保證 L 是到處連續的;有界的線性變換 L 是一個連續變換。

 
定理 8. 令 L 是一個從賦範向量空間 \mathcal{V} 映至賦範向量空間 \mathcal{W} 的線性變換。若 L 在一點 \mathbf{x}_0\in\mathcal{V} 是連續的,則 L 是一個連續變換。

假設 L\mathbf{x}_0\in\mathcal{V} 是連續的。假設 \mathcal{V} 的一個序列 \{\mathbf{x}_n\} 收斂至任一點 \mathbf{x}\in\mathcal{V}。因此,\{\mathbf{x}_n-\mathbf{x}+\mathbf{x}_0\} 收斂至 \mathbf{x}_0,則有

\displaystyle \Vert L(\mathbf{x}_n)-L(\mathbf{x})\Vert=\Vert L(\mathbf{x}_n-\mathbf{x}+\mathbf{x}_0)-L(\mathbf{x}_0)\Vert\to 0

L(\mathbf{x}_n)\to L(\mathbf{x}),故證明所求。

 
定理 9. 一個線性變換到處連續的一個充要條件為它是有界的。

先證明必要性。若線性變換 L:\mathcal{V}\to\mathcal{W} 是有界的且 \mathbf{x}_n\to\mathbf{0},則 \Vert L(\mathbf{x}_n)\Vert\le K\Vert\mathbf{x}_n\Vert\to 0。因此,線性變換 L 在原點是連續的,定理 8 申明 L 到處連續。接著證明充分性。若 L 不是有界的,則對於每一個正整數 n,存在 \mathbf{x}_n\in\mathcal{V} 使得 \Vert L(\mathbf{x}_n)\Vert>n\Vert\mathbf{x}_n\Vert。令 \mathbf{y}_n=\frac{1}{n}\frac{\mathbf{x}_n}{\Vert\mathbf{x}_n\Vert}n=1,2,\ldots。因此,\mathbf{y}_n\to\mathbf{0},同時 \Vert L(\mathbf{y}_n)\Vert>1,故 L 不是連續的。

 
最後說明定義於有限維賦範空間的每一個線性變換是有界的,換言之,有限維向量空間的線性變換是連續的。

 
定理 10. 若 \mathcal{V} 是一個有限維賦範向量空間,則線性變換 L:\mathcal{V}\to\mathcal{W} 是連續的。

假設 \{\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n\} 是向量空間 \mathcal{V} 的一組基底,其中 \Vert\mathbf{e}_i\Vert=1。對於每一 \mathbf{x}\in\mathcal{V},我們有 \mathbf{x}=\sum_{i=1}^nx_i\mathbf{e}_i。使用三角不等式,

\displaystyle \Vert L(\mathbf{x})\Vert=\left\|L\left(\sum_{i=1}^nx_i\mathbf{e}_i\right)\right\|=\left\|\sum_{i=1}^nx_iL(\mathbf{e}_i)\right\|\le\sum_{i=1}^n|x_i|\Vert L(\mathbf{e}_i)\Vert

定理 4 說有限維賦範向量空間 \mathcal{V} 的所有範數都是等價的,故存在常數 \beta 使得

\displaystyle \sum_{i=1}^n|x_i|\le\beta\Vert\mathbf{x}\Vert

M=\max_{1\le i\le n}\Vert L(\mathbf{e}_i)\Vert。合併以上結果,\Vert L(\mathbf{x})\Vert\le \beta M\Vert\mathbf{x}\Vert,證明 L 是有界的。根據定理 9,L 是一個連續的線性變換。

 
如果 \mathcal{V} 是一個無限維向量空間,最小上界 M=\sup_i\Vert L(\mathbf{e}_i)\Vert 未必存在,除非 L 的值域為 \{\mathbf{0}\}。在無限維向量空間,線性變換之所以不連續的原因在於空間中包含一些「洞」。考慮連續實值函數形成的向量空間 \mathcal{C}[0,1],範數定義為

\Vert f(x)\Vert=\sup_{x\in[0,1]}|f(x)|

L:\mathcal{C}[0,1]\to\mathbb{R},定義為 L(f)=f'(0)。微分是線性算子,故 L 是一個線性泛函,但 L 是不連續的。考慮序列

\displaystyle f_n(x)=\frac{\sin(n^2x)}{n},~~n=1,2,\ldots

明顯地,f_n(x)\to 0(x),其中 0(\cdot) 是零函數。但當 n\to\infty

\displaystyle L(f_n)=f'_n(0)=\frac{n^2\cos(n^2\cdot 0)}{n}=n\to\infty

而非 L(f_n)\to L(0)=0

 
具備收斂性的賦範向量空間尚不足以應付無限維向量空間的問題。在許多最佳近似問題中,我們常透過構造向量序列 \mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2,\ldots 來尋得最佳向量,其中 \mathbf{x}_{i+1} 優於 \mathbf{x}_i,極限即為最佳近似解。然而,為了判定序列 \{\mathbf{x}_n\} 的收斂性,我們必須明確地識別出未知的極限。在不知道極限的情況下,如何能判定序列的收斂性呢?寫出

\displaystyle \Vert \mathbf{x}_n-\mathbf{x}_m\Vert=\Vert\mathbf{x}_n-\mathbf{x}+\mathbf{x}-\mathbf{x}_m\Vert\le\Vert\mathbf{x}_n-\mathbf{x}\Vert+\Vert\mathbf{x}-\mathbf{x}_m\Vert

\{\mathbf{x}_n\} 收斂至 \mathbf{x},則當 n,m\to\infty\Vert\mathbf{x}_n-\mathbf{x}_m\Vert\to 0[6],稱為柯西序列 (Cauchy sequence)。每一個收斂序列都是柯西序列。反過來說,當 n,m\to\infty,如果 \Vert\mathbf{x}_n-\mathbf{x}_m\Vert\to 0 便可保證 \{\mathbf{x}_n\} 收斂至某個極限 \mathbf{x}\in\mathcal{V},這樣的賦範向量空間稱為完備的 (complete)。完備的賦範向量空間叫做巴拿赫空間 (Banach space),它最重要的一個優點在於只要確定 \{\mathbf{x}_n\} 是柯西序列便保證該序列收斂至一個極限。因此,巴拿赫空間的實際應用價值遠大於一般的賦範向量空間。

 
註解
[1] 若 \mathbf{x}=\mathbf{0},則任一範數 \Vert\cdot\Vert 滿足 \Vert\mathbf{x}\Vert=0
[2] 在有限維賦範向量空間 \mathcal{V},若集合 S\subset\mathcal{V} 是封閉 (closed) 且有界的 (bounded),則 S 是一個緊集。Weierstrass 定理說定義於有限維賦範向量空間的一個緊集的連續實函數有一個最大值與最小值。
[3] 這裡拓樸學是指點集拓樸學 (point-set topology),專門討論收斂、連續與連通等概念。
[4] 空集合既是一個開集也是一個閉集,稱為空洞的真理 (vacuous truth),意思是空集合的所有元素具備某種性質。具體地說,下列陳述是空洞的真理:
(1) \forall x\in SQ(x) 為真,如果 S=\emptyset
(2) \forall x, P(x)\to Q(x),如果 \forall x\neg P(x) 為真。
空洞的真理在邏輯上是正確的,但沒有涵義,其目的在使數學架構的邏輯一致。
[5] 假設 S 是一個開集。任一點 \mathbf{x}\in S 皆非 \mathcal{V}\setminus S 的閉包點,原因在於存在一個開球 B(\mathbf{x},\epsilon)\mathcal{V}\setminus S 無交集。換言之,\mathcal{V}\setminus S 包含它的所有閉包點,因此 \mathcal{V}\setminus S 是一個閉集。假設 S 是一個閉集。若 \mathbf{x}\in\mathcal{V}\setminus S,則 \mathbf{x} 不是 S 的一個閉包點,即存在一個開球 B(\mathbf{x},\epsilon)\mathcal{V}\setminus S 無交集。因此,\mathbf{x}\mathcal{V}\setminus S 的一個內點,證明 \mathcal{V}\setminus S 是一個開集。
[6] 給定 \epsilon>0,存在正整數 N 使得所有的 n,m>N 滿足 \Vert\mathbf{x}_n-\mathbf{x}_m\Vert<\epsilon

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8 則回應給 賦範向量空間

  1. Peter Chan 說:

    very inspiring

  2. Watt Lin 說:

    請教一個笨問題:空集合可以是開集,在其他情況,空集合也可以是閉集。
    我不太瞭解,空集合為何能夠這樣?
    請老師指導,謝謝!

    • ccjou 說:

      「空集合是開集也是閉集」叫做「空洞的真理 (vacuous truth)」,意思是空集合的所有元素具備某種性質。具體地說,下列陳述是空洞的真理:
      1) \forall x\in SQ(x) 為真,如果 S=\emptyset
      2) \forall x, P(x)\to Q(x),如果 \forall x\neg P(x) 為真。

      譬如,「每一位瀏覽線代啟示錄的百歲人瑞都喜愛這裡的貼文」,如果從來沒有一位百歲人瑞上過我的網站,那麼這個陳述就是空洞的真理。但「我的爸爸是男人」是廢話,不是空洞的真理。

      • Watt Lin 說:

        若把「開集」比喻為「削了皮的蘋果」,
        「閉集」比喻為「帶皮蘋果」。
        以下這樣說,不知可以嗎?

        沒有蘋果,即是0個削了皮的蘋果,也是0個帶皮蘋果。

      • Watt Lin 說:

        把空集合當作開集,也當作閉集,是否為了使某項定理成立?

        • ccjou 說:

          A是B的一個子集合若A的每一個元素都屬於B。「空集合是任何一個集合的子集合」是最有名的一個空洞的真理 (空集合沒有任何元素),邏輯上是正確的,但沒有涵義。空洞的真理的目的在使數學架構的邏輯是合理一致的。如果不承認空集合是任何一個集合的子集合,會有甚麼後果?

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