每週問題 April 18, 2016

證明子空間交集維數的一個不等式。

Let \mathcal{V} be an n-dimensional vector space, and S_1, \ldots, S_k be subspaces in \mathcal{V}. If \sum_{i=1}^k\dim S_i>n(k-1), show that \bigcap_{1\le i\le k}S_i\neq\{\mathbf{0}\}.

 
參考解答:

使用數學歸納法證明

\displaystyle  \dim\left(\bigcap_{1\le i\le k}S_i\right)\ge \sum_{i=1}^k\dim S_i-n(k-1)

k=1,命題顯然成立。假設命題於 k\le p 時成立。令指標集合 I=\{1,2,\ldots,p+1\}。使用容斥定理

\dim(U\cap W)=\dim U+\dim W-\dim(U+W)

其中 UW 為兩個子空間,以及歸納假設,

\displaystyle\begin{aligned}  \dim\left( \bigcap_{i\in I}S_i\right)&=\dim \left(\left(\bigcap_{i\in I\setminus\{1\}}S_i\right)\bigcap \left(\bigcap_{i\in I\setminus\{2\}}S_i\right)\right)\\  &=\dim\left( \bigcap_{i\in I\setminus\{1\}}S_i\right)+\dim\left( \bigcap_{i\in I\setminus\{2\}}S_i\right)-\dim\left(\bigcap_{i\in I\setminus\{1\}}S_i+\bigcap_{i\in I\setminus\{2\}}S_i\right)\\  &=\dim\left( \bigcap_{i\in I\setminus\{1\}}S_i\right)+\dim\left(\left(\bigcap_{i\in I\setminus\{1,2\}}S_i\right)\bigcap S_1\right)-\dim\left(\bigcap_{i\in I\setminus\{1\}}S_i+\bigcap_{i\in I\setminus\{2\}}S_i\right)\\  &\ge \sum_{i\in I\setminus\{1\}}\dim S_i-n(p-1)+\dim\left(\bigcap_{i\in I\setminus\{1,2\}}S_i\right)+\dim S_1-n\\  &~~~~~-\dim\left(\bigcap_{i\in I\setminus\{1\}}S_i+\bigcap_{i\in I\setminus\{2\}}S_i\right)\\  &=\sum_{i=1}^{p+1}\dim S_i-np+\dim\left(\bigcap_{i\in I\setminus\{1,2\}}S_i\right)-\dim\left(\bigcap_{i\in I\setminus\{1\}}S_i+\bigcap_{i\in I\setminus\{2\}}S_i\right).  \end{aligned}

\bigcap_{i\in I\setminus\{1\}}S_i+\bigcap_{i\in I\setminus\{2\}}S_i\subseteq \bigcap_{i\in I\setminus\{1,2\}}S_i,因此

\displaystyle  \dim\left( \bigcap_{1\le i\le p+1}S_i\right)\ge \sum_{i=1}^{p+1}\dim S_i-np

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