每週問題 April 25, 2016

計算一個線性變換的跡數、行列式、特徵值與特徵向量。

Let \mathcal{V} be the vector space spanned by functions \cos(2x) and \sin(2x).
(a) Find the trace and determinant of the linear transformation D(f)=f' from \mathcal{V} to \mathcal{V}.
(b) Find the eigenvalues and corresponding eigenvectors of D.

 
參考解答:

(a) 寫出線性變換 D 參考有序基底 \boldsymbol{\beta}=\{\cos(2x),\sin(2x)\} 的表示矩陣:

\displaystyle \begin{aligned} \begin{bmatrix} D \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}&=\begin{bmatrix} \begin{bmatrix} D(\cos(2x)) \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}&\begin{bmatrix} D(\sin(2x)) \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} \begin{bmatrix} -2\sin(2x) \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}}&\begin{bmatrix} 2\cos(2x) \end{bmatrix}_{\boldsymbol{\beta}} \end{bmatrix}\\ &=\left[\!\!\begin{array}{rc} 0&2\\ -2&0 \end{array}\!\!\right]. \end{aligned}

因此,\hbox{trace}D=\hbox{trace}[D]_{\boldsymbol{\beta}}=0\det D=\det [D]_{\boldsymbol{\beta}}=4。請注意,\hbox{trace} D\det D 不因所選擇的基底 \boldsymbol{\beta} 而改變。

(b) 考慮 [D]_{\boldsymbol{\beta}} 的特徵方程式

\displaystyle p(t)=\det\left([D]_{\boldsymbol{\beta}}-tI\right)=\begin{vmatrix} 0-t&2\\ -2&0-t \end{vmatrix}=t^2+4

p(t)=0 解得兩根 \lambda_1=2i\lambda_2=-2i,其中 i=\sqrt{-1},對應的特徵向量分別為 [\mathbf{f}_1]_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix} 1\\ i \end{bmatrix}[\mathbf{f}_2]_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix} 1\\ -i \end{bmatrix}。因此,D 的特徵值為 \lambda_1=2i\lambda_2=-2i,對應的特徵向量分別為 f_1(x)=\cos(2x)+i\sin(2x)f_2(x)=\cos(2x)-i\sin(2x)

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