矩陣積 AB 之轉置公式的無言證明

給定一個 m\times n 階矩陣 A,我們定義 A 的轉置 A^Tn\times m 階矩陣,滿足 (A^T)_{ij}=(A)_{ji}。換句話說,將 A 的列行對調即得到 A^T,如下例:

A=\begin{bmatrix}  1&2&3\\  4&5&6  \end{bmatrix},~~A^T=\begin{bmatrix}  1&4\\  2&5\\  3&6  \end{bmatrix}

所謂矩陣的列行對調可以形象化解釋如下:設想你將矩陣 A 抄寫在一張 (半透明) 紙板上,左手抓住左上角,右手抓住右下角,以連接 (1,1) 元與 (m,n) 元的直線為轉軸翻轉紙板即得到 A^T,再翻轉一次便可回復 A。因此,(A^T)^T=A。若 AB 可乘,AB 的轉置公式為 (見“轉置與共軛轉置”)

(AB)^T=B^TA^T

底下提供一個無言證明 (proof without words)。

 

Transpose of products A

圖 1 以虛線為轉軸翻轉圖片

 

Transpose of products B

圖 2 翻轉後的結果

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1 則回應給 矩陣積 AB 之轉置公式的無言證明

  1. Watt Lin 說:

    無言勝有言,讚!

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