每週問題 May 9, 2016

A 是一個可逆非負矩陣且 A^{-1} 也是非負矩陣,則 A 有甚麼特殊性質?

Let A=[a_{ij}] be an n\times n non-negative matrix, i.e., a_{ij}\ge 0 for all i and j. If A is nonsingular and A^{-1} is a non-negative matrix as well, then A is a monomial matrix. Note that a nonsingular matrix A is monomial if A can be written as A=PD, where P is a permutation matrix and D is a nonsingular diagonal matrix.

 
參考解答:

假設 A 是一個 n\times n 階非負矩陣,且非負矩陣 B=[b_{ij}] 使得 AB=BA=I。令單位矩陣 I(i,j) 元為 \delta_{ij}。考慮 AB=I。若 a_{ik}>0,則 b_{kj}=0j\neq i,否則

\displaystyle  0=\delta_{ij}=\sum_{l=1}^na_{il}b_{lj}\ge a_{ik}b_{kj}>0

再者,可逆矩陣 B 不含零列 (zero row),故 b_{ki}>0。考慮 BA=I。使用相同方式可推論 a_{ij}=0j\neq k。因此,可逆矩陣 A 的每一列有一個非零元,且所有的非零元佔據不同的行 (column),故可推論存在一個排列矩陣 (permutation matrix) P 使得 D=PA 為可逆對角矩陣,即 A=P^TD 是一個單項矩陣 (monomial matrix)。

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