反對角矩陣的特徵值

本文的閱讀等級:初級

A=[a_{ij}] 為一個 n\times n 階反對角矩陣 (anti-diagonal matrix)。例如,若 n=5

A=\begin{bmatrix} &&&&a_{15}\\ &&&a_{24}&\\ &&a_{33}&&\\ &a_{42}&&&\\ a_{51}&&&& \end{bmatrix}

如果不解出特徵多項式 \det(A-\lambda I) 的根,反對角矩陣是否有更快捷的特徵值算法?通過基底變換,我們可以設法使 A5 個反主對角元「集中」於主對角線附近,精確地說,A 相似於一個分塊對角矩陣。

 
觀察發現兩個反對角矩陣之積是一個對角矩陣。以下用 n=5 為例說明,

A^2=\begin{bmatrix} a_{15}a_{51}&&&&\\ &a_{24}a_{42}&&&\\ &&a_{33}^2&&\\ &&&a_{42}a_{24}&\\ &&&&a_{51}a_{15} \end{bmatrix}

可知 A^2 的特徵值為 a_{15}a_{51}(2),a_{24}a_{42}(2),a_{33}^2(1),其中括弧內的數字代表相重數 (代數重數)。若 \lambdaA 的一個特徵值,則 \lambda^2A^2 的一個特徵值 (見“冪矩陣的特徵值與特徵向量”)。因此,A 的特徵值可能是下列六個數:\pm\sqrt{a_{15}a_{51}},\pm\sqrt{a_{24}a_{42}},\pm{a_{33}}。因為 a_{33}A 的一個特徵值,對應的特徵向量為 (0,0,1,0,0),且所有特徵值之和為 \hbox{trace}A=a_{33},你可能推測 A 的其餘 4 個特徵值是 \pm\sqrt{a_{15}a_{51}},\pm\sqrt{a_{24}a_{42}}。的確如此,5\times 5 階反對角矩陣 A 相似於分塊對角矩陣

B=\begin{bmatrix} 0&a_{15}&&&\\ a_{51}&0&&&\\ &&0&a_{24}&\\ &&a_{42}&0&\\ &&&&a_{33}\end{bmatrix}

分塊對角矩陣 B 的特徵值由主對角分塊的特徵值組成,即 \pm\sqrt{a_{15}a_{51}},\pm\sqrt{a_{24}a_{42}},{a_{33}}

 
透過 B 的分塊對角形式很容易判定 B (同樣也是 A) 是否可對角化。舉例來說,分塊 \begin{bmatrix} 0&a_{15}\\ a_{51}&0 \end{bmatrix} 可對角化的充要條件是 a_{15}a_{51}\neq 0a_{15}=a_{51}=0。因此,n\times n 階反對角矩陣 A 是可對角化的充要條件是 a_{i,n+1-i}a_{n+1-i,i} 必須同時非零或同時為零,1\le i\le n/2

 
下面證明 A 相似於 B。考慮 \mathbb{C}^5 的一組有序基底 \boldsymbol{\beta}=\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_5,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_4,\mathbf{e}_3\},其中 \mathbf{e}_i\mathbb{C}^5 的第 i 個標準單位向量。計算

\begin{aligned}A\mathbf{e}_1&=a_{51}\mathbf{e}_5\\ A\mathbf{e}_5&=a_{15}\mathbf{e}_1\\ A\mathbf{e}_2&=a_{42}\mathbf{e}_4\\ A\mathbf{e}_4&=a_{24}\mathbf{e}_2\\ A\mathbf{e}_3&=a_{33}\mathbf{e}_3, \end{aligned}

或以參考 \boldsymbol{\beta} 的座標向量表示為

[A\mathbf{e}_1]_{\boldsymbol{\beta}}\!=\!\!\begin{bmatrix}0\\a_{51}\\0\\0\\0\end{bmatrix}\!\!,[A\mathbf{e}_5]_{\boldsymbol{\beta}}\!=\!\!\begin{bmatrix}a_{15}\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix}\!\!,[A\mathbf{e}_2]_{\boldsymbol{\beta}}\!=\!\!\begin{bmatrix}0\\0\\0\\a_{42}\\0\end{bmatrix}\!\!,[A\mathbf{e}_4]_{\boldsymbol{\beta}}\!=\!\!\begin{bmatrix}0\\0\\a_{24}\\0\\0\end{bmatrix}\!\!,[A\mathbf{e}_3]_{\boldsymbol{\beta}}\!=\!\!\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\\a_{33}\end{bmatrix}\!\!,

A 參考基底 \boldsymbol{\beta} 的表示矩陣如下:

[A]_{\boldsymbol{\beta}}=\begin{bmatrix} &&&&\\ [A\mathbf{e}_1]_{\boldsymbol{\beta}}&[A\mathbf{e}_5]_{\boldsymbol{\beta}}&[A\mathbf{e}_2]_{\boldsymbol{\beta}}&[A\mathbf{e}_4]_{\boldsymbol{\beta}}&[A\mathbf{e}_3]_{\boldsymbol{\beta}}\\ &&&&\end{bmatrix}=B

令基底變換矩陣

P=\begin{bmatrix} \mathbf{e}_1&\mathbf{e}_5&\mathbf{e}_2&\mathbf{e}_4&\mathbf{e}_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&0&1&0\\ 0&1&0&0&0\end{bmatrix}

因此,AP=PB,即 A=PBP^{-1}A 相似於 B,兩矩陣有相同的特徵值。

 
最後我們將結論整理於下。對於 n\times n 階反對角矩陣 A=[a_{ij}]

  • n 是奇數,特徵值為 \pm\sqrt{a_{i,n-i}a_{n-i,i}}i=1,\ldots,\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor,以及 a_{\frac{n+1}{2},\frac{n+1}{2}}
  • n 是偶數,特徵值為 \pm\sqrt{a_{i,n-i}a_{n-i,i}}i=1,\ldots,\frac{n}{2}
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