「零」究竟是有還是沒有?

2000年3月27日,交通大學舉辦「人文與科技三賢鼎談」,三賢是法鼓山聖嚴法師,交通大學校長張俊彥與清華大學校長劉炯朗。會中有一段談話,抄錄於下[1]

聖嚴法師:我到要請教一下,「零」究竟是有還是沒有?

張俊彥:也是有,也是沒有。無窮大也是有,也是沒有;無窮大好像存在,可是拿不到,所以也是有,也是沒有。

劉炯朗:非相非非相,假如用來解釋數學,零不是正,不是負。假如一被零除,就變成無窮大。把有限的分成零份,每份就變成無窮大。

聖嚴法師:在我的看法,零是有的,並不是等於沒有。當把零去掉了以後,才是真正的沒有。

劉炯朗:在數學上來講,沒有零,就無法建立一個完整的數學系統。

聖嚴法師:這個道理就是,當東西被量化時,它就一定是有的,而且也一定是有限的。

張俊彥:所以,零的發明是非常具關鍵性的。如果沒有這個零的話,甚麼都沒有;有了零,就甚麼都有了。

 
「零」究竟是有還是沒有?這道是非題暗藏語言陷阱[2],不如換個問法:「零 (zero)」與「無 (nothing)」有甚麼不同?「零」是一個數,但「無」不是一個數。「無」是一個概念,意思是空或沒有,與之對應的概念叫「有」。「零」的數值是 0,「無」意味沒有任何實體存在。若硬要套入數學解釋,「無」就是空集合 \emptyset

 
「零」與「無」的另一個重要的差別在於「零」須賦予可測量的屬性,而「無」則不具備任何屬性。譬如,甲乙二生報名參加會考,甲生應試得零分,乙生缺考記為零分。甲生的零分是考試實測的分數,乙生的零分代表未測得分數,故兩者的零分有全然不同的意義。

 
等兩位校長講完 1/0=\infty[3],聖嚴法師宣布答案:

  1. 「在我的看法,零是有的,並不是等於沒有。」考慮一個集合 S=\{0\}S 的基數 (cardinal number,集合的元素數) 為 1。「零是有的」意指集合 S=\{0\} 裡面有一個元素 0
  2. 「當把零去掉了以後,才是真正的沒有。」差集 S\setminus\{0\}=\{\}\emptyset 的基數為 0,即裡面沒有元素。

原來如此,按照出題者提供的解答,「『零』究竟是有還是沒有?」其實是一道非常簡單的集合問題 (而非數論問題):「\{0\} 究竟有元素還是沒有元素?」

 
公布答案後,三賢繼續延伸討論。

 
劉校長說:「在數學上來講,沒有零,就無法建立一個完整的數學系統。」道理十分明顯,不然 1+x=1 的解要怎麼表示?

 
聖嚴法師說:「當東西被量化時,它就一定是有的,而且也一定是有限的。」但無理數 \sqrt{2},圓周率 \pi 與歐拉數 e 的小數點後的數字不都有無限多個?早在西元前300年,歐幾里得不就已經證明存在無限多個質數?你可能以為聖嚴法師不懂數學。非也。我來幫聖嚴法師解釋,他的意思是:「當一個測量值被輸入電腦時,它就一定存在於記憶體,而且也一定是有限位元的。」

 
張校長說:「如果沒有這個零的話,甚麼都沒有;有了零,就甚麼都有了。」你不必訝異,更無須懷疑,這句話不過是「從零開始,從無到有」的淺白說法罷了。

 
註解
[1] 聖嚴法師,《聖嚴法師與科技對話》,2001,頁 70-71。
[2] 語言陷阱常見於禪宗公案。《六祖壇經》記載六祖惠能初至廣州法性寺的一則故事:值印宗法師講涅槃經。時有風吹幡動。一僧云:風動。一僧云:幡動。議論不已。能進曰:不是風動,不是幡動,仁者心動。一眾駭然。
[3] 正確的表達式是 \lim_{x\to 0}1/x=\infty

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6 則回應給 「零」究竟是有還是沒有?

  1. Watt Lin 說:

    (1)
    有些時候,老師在寫板書,對角矩陣,僅寫對角元素的值,其餘留空,
    書寫方便,節省時間,也節約粉筆或白板筆,
    學生一目了然,能夠看懂,不致於發生誤會。
    (2)
    書本的印刷,對角矩陣,可能把對角線以外的其他元素省略不印。
    那些「沒印刷」的元素,皆有「數值」為「零」,大家看懂就好。
    沒有誤解,也就不必另外花時間去解釋。
    (3)
    一般矩陣,若作SVD分解,其中的Sigma矩陣,有很多元素為「零」,
    透過電腦程式處理,能夠節約記憶體的使用量,達到資料壓縮,節省網路傳輸時間。
    矩陣各元素,當「零」不佔用記憶體,可說是「無」;
    當「零」再度佔用記憶體,這時的「零」可說是「有」。
    (4)
    古代流傳至今的某些文字,可能被歸類在「哲學」,有時引發爭辯。
    當科學技術日新月異,重新推測古人的想法,或許會發現,其中隱含重大意義!

  2. David 說:

    0 不可當基底 S={0} 之維度為0
    基底為空集合

    • ccjou 說:

      如果是線性代數問題:\{0\} 究竟有基底向量還是沒有基底向量?

      答案就是你說的:在我的看法,零是沒有(基底向量)的,\dim\{0\}=0。零是沒有(\{\})所生成的,\{0\}=\hbox{span}(\{\})

      如果是數論問題:零究竟有因數還是沒有因數?

      答案:在我的看法,零是有的,而且有無窮多個因數。

      但至今我尚未參透這句話:「也是有,也是沒有。無窮大也是有,也是沒有。」太高深了。

      • Watt Lin 說:

        「空集合」是「開集」也是「閉集」,為什麼?
        我思考很久!
        經過周老師說明,我有進一步的瞭解,似乎尚未達到「參透」的程度。
        我猜想,古人對於「空」、「無」,也有不少人,用了許多時間去思索。
        學習線性代數,可以找到一些方向,重新思考這些「又屬哲學,也是科學」的話題。

  3. Meiyue Shao 說:

    “若硬要套入數學解釋,「無」就是空集合"——这个地方有点问题,应该说「無」就是空集合的元素。

    事实上在自然数的 von Neumann 定义下,0 就是空集,空集本身依然是一个存在的事物,而空集的元素才是真正不存在的。

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