Cayley-Hamilton 定理的一個錯誤「證明」

本文的閱讀等級:初級

在線性代數中,Cayley-Hamilton 定理可謂最令學者感到驚奇的定理之一:任一 n\times n 階矩陣 A 的特徵多項式 p(\lambda) 消滅 A,即 p(A)=0p(A) 是零矩陣。以 n=2 為例,A=\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix} 的特徵多項式為

\begin{aligned} p(\lambda)&=\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix} a-\lambda&b\\ c&d-\lambda \end{vmatrix}\\ &=\lambda^2-(a+d)\lambda+ad-bc,\end{aligned}

Cayley-Hamilton 定理宣稱

p(A)=A^2-(a+d)A+(ad-bc)I=0

 
Cayley-Hamilton 定理有很多種證法 (見“Cayley-Hamilton 定理”),但其中幾乎挑不出一個簡單的證明。底下這個看似快捷實乃錯誤的「證明」曾經不斷地被初學者重複發現:

因為 p(\lambda)=\det(A-\lambda I),將 A 取代 \lambda 可得

p(A)=\det(A-AI)=\det(A-A)=\det 0=0

謬誤之處何在?矩陣多項式 p(A) 是一個 n\times n 階矩陣 (見“矩陣多項式”),但上式最後一個等號給出的是行列式的值,\det 0=0 是一個純量。第一個步驟設 \lambda=A 並代入 p(\lambda)=\det(A-\lambda I) 是錯誤的根源,因為我們不能從 A 的主對角元減去一個矩陣。如果你一定要將特徵多項式 \det(A-\lambda I) 裡的 \lambdaA 取代,則 A 的所有元 a_{ij} 也必須替換為純量矩陣 a_{ij}I。以 n=2 為例,使用分塊矩陣的行列式公式 (見“分塊矩陣的行列式”,公式四),

\begin{aligned} \begin{vmatrix}aI-A&bI\\ cI&dI-A \end{vmatrix}&=\det\left((aI-A)(dI-A)-(bI)(cI)\right)\\ &=\det\left(A^2-(a+d)A+(ad-bc)I\right)\\ &=\det(p(A)). \end{aligned}

即便你能證明 \det(p(A))=0,只能說 p(A) 是一個不可逆矩陣,仍然無法推論 p(A) 是零矩陣。矩陣多項式 p(A) 的表達式確實可套用二階行列式公式的「形式」求出,如下:

\begin{aligned} p(A)&=\begin{vmatrix} aI-A&bI\\ cI&dI-A \end{vmatrix}\\ &=(aI-A)(dI-A)-(bI)(cI)\\ &=A^2-(a+d)A+(ad-bc)I,\end{aligned}

其中我們將 p(A) 寫成 2\times 2 階分塊矩陣的行列式僅有形式上的意義。Cayley-Hamilton 定理說上面的矩陣等於零。徒勞無功,我們又回到了原點。若你堅持非用行列式證明不可,那就要另闢蹊徑,詳情請參閱“Cayley-Hamilton 定理的一個代數證明方法”。

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2 Responses to Cayley-Hamilton 定理的一個錯誤「證明」

  1. Yixiao Chen says:

    這個問題前一段時間剛剛學到,課本上還專門給出思考題問為什麼這樣「證明」不對。

  2. levinc417 says:

    我有在某書看過這樣的証明XDDDD

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