每週問題 June 27, 2016

給定不可逆矩陣 A,線性方程 A^T\mathbf{x}=\mathbf{b} 是否可能有唯一解?

Let A be an n\times n matrix. If A\mathbf{x}=\mathbf{0} has nonzero solutions, is it possible that A^T\mathbf{x}=\mathbf{b} has a unique solution for some vector \mathbf{b}?

 
參考解答:

齊次方程 A\mathbf{x}=\mathbf{0} 存在非平凡解意味 \hbox{rank}A<n。但 \hbox{rank}A^T=\hbox{rank}A,可知 A^T\mathbf{x}=\mathbf{0} 也存在非平凡解。令 C(A^T) 代表 A^T 的行空間 (column space)。分開兩個情況討論:若 \mathbf{b}\notin C(A^T),則 A^T\mathbf{x}=\mathbf{b} 不存在解。若 \mathbf{b}\in C(A^T),則 A^T\mathbf{x}=\mathbf{b} 有無限多組解。合併以上結果,A^T\mathbf{x}=\mathbf{b} 不可能有唯一解。

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