每週問題 September 12, 2016

證明可交換矩陣的一個充要條件。

Let $A$ and $B$ be $n\times n$ matrices. Suppose that the eigenvectors of $A$ span $\mathbb{C}^n$ and have distinct eigenvalues. Show that $AB=BA$ if and only if $A$ and $B$ have the same set of eigenvectors (with possibly different eigenvalues).

參考解答：

設 $A$ 與 $B$ 有特徵向量 $\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n$ ，分別對應 $A$ 的特徵值 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ ，以及 $B$ 的特徵值 $\mu_1,\ldots,\mu_n$ 。對於任一 $\mathbf{y}\in\mathbb{C}^n$ ，寫出唯一表達式 $\mathbf{y}=c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_n\mathbf{x}_n$ ，則

$\displaystyle\begin{aligned} AB\mathbf{y}&=AB\left(\sum_{i=1}^nc_i\mathbf{x}_i\right)=\sum_{i=1}^nc_iAB\mathbf{x}_i=\sum_{i=1}^nc_i\mu_iA\mathbf{x}_i=\sum_{i=1}^nc_i\mu_i\lambda_i\mathbf{x}_i\\ BA\mathbf{y}&=BA\left(\sum_{i=1}^nc_i\mathbf{x}_i\right)=\sum_{i=1}^nc_iBA\mathbf{x}_i=\sum_{i=1}^nc_i\lambda_iB\mathbf{x}_i=\sum_{i=1}^nc_i\lambda_i\mu_i\mathbf{x}_i. \end{aligned}$

任意 $\mathbf{y}\in\mathbb{C}^n$ 使得 $AB\mathbf{y}=BA\mathbf{y}$ ，因此證明 $AB=BA$ 。

相反的，假設 $AB=BA$ 且 $A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$ ， $\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$ ，可得

$A(B\mathbf{x})=(AB)\mathbf{x}=(BA)\mathbf{x}=B(A\mathbf{x})=\lambda(B\mathbf{x})$ 。

分開兩種情況討論：(1) 若 $B\mathbf{x}\neq\mathbf{0}$ ，則 $B\mathbf{x}$ 是 $A$ 的一個特徵向量，對應特徵值 $\lambda$ 。但 $A$ 沒有相重特徵值且 $\mathbf{x}$ 是對應特徵值 $\lambda$ 的特徵向量，可知 $B\mathbf{x}=\mu\mathbf{x}$ ， $\mu\neq 0$ 。因此， $\mathbf{x}$ 也是 $B$ 的一個特徵向量，對應特徵值 $\mu$ 。(2) 若 $B\mathbf{x}=\mathbf{0}$ ，則 $\mathbf{x}$ 是 $B$ 的一個特徵向量，對應特徵值 $0$ 。

3 Responses to 每週問題 September 12, 2016

Meiyue Shao says:

09/13/2016 at 7:42 am

我比较推荐的做法是这样： $P:=[x_1,\ldots,x_n]$ , $\tilde A:=P^{-1}AP$ 是对角阵, $\tilde B:=P^{-1}BP$ , 问题转化为 $\tilde B$ 是对角阵当且仅当 $\tilde A\tilde B=\tilde B\tilde A$ 。必要性是显然的，充分性只要把 $\tilde A\tilde B$ 和 $\tilde B\tilde A$ 算出来看看就行了。

这个做法的好处是即使 $A$ 有重特征值也可以知道 $B$ 应有的结构。

- Meiyue Shao says:
  
  09/13/2016 at 7:43 am
  
  不好意思，有两个笔误，麻烦周老师修正一下。
  
- ccjou says:
  
  09/13/2016 at 9:06 am
  
  謝謝分享。

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