每週問題 September 12, 2016

證明可交換矩陣的一個充要條件。

Let A and B be n\times n matrices. Suppose that the eigenvectors of A span \mathbb{C}^n and have distinct eigenvalues. Show that AB=BA if and only if A and B have the same set of eigenvectors (with possibly different eigenvalues).

 
參考解答:

AB 有特徵向量 \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_n,分別對應 A 的特徵值 \lambda_1,\ldots,\lambda_n,以及 B 的特徵值 \mu_1,\ldots,\mu_n。對於任一 \mathbf{y}\in\mathbb{C}^n,寫出唯一表達式 \mathbf{y}=c_1\mathbf{x}_1+\cdots+c_n\mathbf{x}_n,則

\displaystyle\begin{aligned} AB\mathbf{y}&=AB\left(\sum_{i=1}^nc_i\mathbf{x}_i\right)=\sum_{i=1}^nc_iAB\mathbf{x}_i=\sum_{i=1}^nc_i\mu_iA\mathbf{x}_i=\sum_{i=1}^nc_i\mu_i\lambda_i\mathbf{x}_i\\ BA\mathbf{y}&=BA\left(\sum_{i=1}^nc_i\mathbf{x}_i\right)=\sum_{i=1}^nc_iBA\mathbf{x}_i=\sum_{i=1}^nc_i\lambda_iB\mathbf{x}_i=\sum_{i=1}^nc_i\lambda_i\mu_i\mathbf{x}_i. \end{aligned}

任意 \mathbf{y}\in\mathbb{C}^n 使得 AB\mathbf{y}=BA\mathbf{y},因此證明 AB=BA

相反的,假設 AB=BAA\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}\mathbf{x}\neq\mathbf{0},可得

A(B\mathbf{x})=(AB)\mathbf{x}=(BA)\mathbf{x}=B(A\mathbf{x})=\lambda(B\mathbf{x})

分開兩種情況討論:(1) 若 B\mathbf{x}\neq\mathbf{0},則 B\mathbf{x}A 的一個特徵向量,對應特徵值 \lambda。但 A 沒有相重特徵值且 \mathbf{x} 是對應特徵值 \lambda 的特徵向量,可知 B\mathbf{x}=\mu\mathbf{x}\mu\neq 0。因此,\mathbf{x} 也是 B 的一個特徵向量,對應特徵值 \mu。(2) 若 B\mathbf{x}=\mathbf{0},則 \mathbf{x}B 的一個特徵向量,對應特徵值 0

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3 則回應給 每週問題 September 12, 2016

  1. Meiyue Shao 說道:

    我比较推荐的做法是这样:P:=[x_1,\ldots,x_n], \tilde A:=P^{-1}AP 是对角阵, \tilde B:=P^{-1}BP, 问题转化为 \tilde B 是对角阵当且仅当 \tilde A\tilde B=\tilde B\tilde A。必要性是显然的,充分性只要把 \tilde A\tilde B\tilde B\tilde A 算出来看看就行了。

    这个做法的好处是即使 A 有重特征值也可以知道 B 应有的结构。

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