每週問題 September 19, 2016

這是關於半正定矩陣的二次型等於零的問題。

Let A be a real symmetric positive semidefinite matrix. If \mathbf{x}^TA\mathbf{x}=0, show that A\mathbf{x}=\mathbf{0}.

 
參考解答:

n\times n 階實對稱半正定矩陣 A 可正交對角化為 A=QDQ^T,其中 Q^T=Q^{-1}D=\hbox{diag}(d_1,\ldots,d_n)d_i\ge 0i=1,\ldots,n。令 \sqrt{D}=\hbox{diag}(\sqrt{d_1},\ldots,\sqrt{d_n})。因此,

\begin{aligned} 0&=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}\\ &=\mathbf{x}^TQDQ^T\mathbf{x}\\ &=\mathbf{x}^TQ\sqrt{D}\sqrt{D}Q^T\mathbf{x}\\ &=(\sqrt{D}Q^T\mathbf{x})^T(\sqrt{D}Q^T\mathbf{x})\\ &=\Vert \sqrt{D}Q^T\mathbf{x}\Vert^2. \end{aligned}

上式表明 \sqrt{D}Q^T\mathbf{x}=\mathbf{0},故得 A\mathbf{x}=Q\sqrt{D}\sqrt{D}Q^T\mathbf{x}=\mathbf{0}

This entry was posted in pow 二次型, 每週問題 and tagged . Bookmark the permalink.

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

你正使用 WordPress.com 帳號留言。 登出 / 變更 )

Twitter picture

你正使用 Twitter 帳號留言。 登出 / 變更 )

Facebook照片

你正使用 Facebook 帳號留言。 登出 / 變更 )

Google+ photo

你正使用 Google+ 帳號留言。 登出 / 變更 )

連結到 %s