每週問題 September 26, 2016

若可對角化矩陣的特徵值皆為實數,則此矩陣可表示為正定矩陣與 Hermitian 矩陣之積。

Let A be a diagonalizable matrix with real eigenvalues. Show that A can be represented as A=BC, where B is a positive definite matrix and C is a Hermitian matrix.

 
參考解答:

n\times n 階可對角化矩陣 A=SDS^{-1},其中 D=\hbox{diag}(d_1,\ldots,d_n) 是實矩陣。寫出 A=SS^\ast (S^\ast)^{-1}DS^{-1},其中 B=SS^\ast 是一個正定矩陣,C=(S^\ast)^{-1}DS^{-1} 是一個 Hermitian 矩陣。

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3 則回應給 每週問題 September 26, 2016

  1. Peter Chan 說道:

    fantastic proof

  2. jim 說道:

    Amp網頁排版比瀏覽原始網頁差。

  3. Meiyue Shao 說道:

    这个问题更常见的等价形式是“一个可对角化且特征值全为正数的矩阵可以表示成两个Hermite正定阵的乘积”。

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