每週問題 October 3, 2016

這是關於相合變換 (congruence transformation) 的問題。

Let A and B be n\times n Hermitian matrices. Suppose A is invertible. Show that there exists a nonsingular matrix P so that P^\ast AP and P^\ast BP are diagonal if and only if A^{-1}B is diagonalizable and all its eigenvalues are real.

 
參考解答:

P^\ast AP=D_1P^\ast BP=D_2,其中 D_1D_2 為對角矩陣。因為 P^\ast APP^\ast BP 都是 Hermitian,D_1D_2 是實對角矩陣。寫出

A^{-1}B=PD_1^{-1}P^\ast (P^\ast)^{-1}D_2P^{-1}=PD_1^{-1}D_2P^{-1}

其中 D_1^{-1}D_2 是一個實對角矩陣,對角元即為 A^{-1}B 的特徵值。

另一方面,假設 A^{-1}B=SDS^{-1},其中

D=\begin{bmatrix}  \lambda_1I_{n_1}&&\\  &\ddots&\\  &&\lambda_kI_{n_k}\end{bmatrix}

\lambda_1,\ldots,\lambda_k 為兩兩互異的實數。因此,BS=ASD,即有 S^\ast BS=(S^\ast AS)D,其中 S^\ast B SS^\ast AS 是 Hermitian。使用分塊矩陣表達,S^\ast AS=[\tilde{A}_{ij}]S^\ast BS=[\tilde{B}_{ij}],這裡 \tilde{A}_{ij}\tilde{B}_{ij}n_i\times n_j 階分塊,i,j=1,\ldots,k。使用 \tilde{A}_{ij}=\tilde{A}_{ji}^\ast\tilde{B}_{ij}=\tilde{B}_{ji}^\ast,且 \tilde{B}_{ij}=\lambda_j\tilde{A}_{ij}i\neq j,推得

\lambda_j\tilde{A}_{ij}=\tilde{B}_{ji}^\ast=\overline{\lambda_i}\tilde{A}_{ji}^\ast=\lambda_i\tilde{A}_{ij}

因為 \lambda_i\neq \lambda_j\tilde{A}_{ij}=0 並有 \tilde{B}_{ij}=0i\neq j。因此,

S^\ast AS=\begin{bmatrix}  \tilde{A}_{11}&&\\  &\ddots&\\  &&\tilde{A}_{kk}\end{bmatrix},~~S^\ast BS=\begin{bmatrix}  \lambda_1\tilde{A}_{11}&&\\  &\ddots&\\  &&\lambda_k\tilde{A}_{kk}\end{bmatrix}

上式中,每一 \tilde{A}_{ii} 可表示為 \tilde{A}_{ii}=U_iD_iU_i^\ast,其中 U_i^\ast=U_i^{-1}D_i 是對角矩陣,i=1,\ldots,k。令 P=SU,其中

U=\begin{bmatrix}  U_1&&\\  &\ddots&\\  &&U_k\end{bmatrix}

合併以上結果,

\begin{aligned}  P^\ast AP&=U^\ast S^\ast ASU=\begin{bmatrix}  D_1&&\\  &\ddots&\\  &&D_k\end{bmatrix}\\  P^\ast BP&=U^\ast S^\ast BSU=\begin{bmatrix}  \lambda_1D_1&&\\  &\ddots&\\  &&\lambda_kD_k\end{bmatrix}.\end{aligned}

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