每週問題 October 10, 2016

若半正定矩陣的一個主對角元等於零,則該列與行的所有元必為零。

Let A=[a_{ij}] be an n\times n Hermitian matrix. If A is positive semidefinite and a_{ii}=0 for some i, show that a_{ij}=a_{ji}=0 for all j.

 
參考解答:

證明 1. 使用反證法。假設半正定矩陣 A=[a_{ij}] 滿足 a_{ii}=0a_{ij}\neq 0j\neq i。令 \mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)^T,其中 x_i=ta_{ij}t\in\mathbb{R}x_j=1,其餘所有元為零。計算可得 \mathbf{x}^\ast A\mathbf{x}=2t|a_{ij}|^2+a_{jj}。因為 t 是任意實數且 |a_{ij}|\neq 0\mathbf{x}^\ast A\mathbf{x} 可能是正數或負數,我們得到一個矛盾。

證明 2. 使用反證法。利用半正定矩陣 A 的一個充要條件:A 的所有主子陣 (principal submatrix) 之行列式為非負值。若 a_{ii}=0a_{ij}\neq 0j\neq i,則列行為 i,j 的二階主子陣行列式為 \begin{vmatrix}  a_{ii}&a_{ij}\\  \overline{a_{ij}}&a_{jj}  \end{vmatrix}=-|a_{ij}|^2<0,我們得到一個矛盾。

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2 則回應給 每週問題 October 10, 2016

  1. Meiyue Shao 說:

    还有一种比较简单的做法: 如果 a_{ii}=0, a_{ij}\neq0, 那么 i, j 行列对应的二阶主子式一定小于零.

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