每週問題 October 17, 2016

判定一個 Gramian 矩陣 (樣本共變異數矩陣具備此型態) 的可逆性。

Let \mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n be n vectors in \mathbb{R}^m. Show that m\times m Gramian matrix G=\sum_{i=1}^n\mathbf{a}_i\mathbf{a}_i^T is nonsingular if and only if \hbox{span}\{\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n\}=\mathbb{R}^m.

 
參考解答:

m\times n 階矩陣 A=\begin{bmatrix}  \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_n  \end{bmatrix}。寫出

\displaystyle  G=\sum_{i=1}^n\mathbf{a}_i\mathbf{a}_i^T=\begin{bmatrix}  \mathbf{a}_1&\cdots&\mathbf{a}_n  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  \mathbf{a}_1^T\\  \vdots\\  \mathbf{a}_n^T  \end{bmatrix}=AA^T

即有 \hbox{rank}G=\hbox{rank}(AA^T)=\hbox{rank}A=\dim \hbox{span}\{\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n\}。因此,m\times mG 是一個非奇異矩陣 (即 \hbox{rank}G=m) 等價於 \hbox{span}\{\mathbf{a}_1,\ldots,\mathbf{a}_n\}=\mathbb{R}^m

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