每週問題 October 31, 2016

證明兩冪等矩陣 (idempotent matrix) 之差為冪等矩陣的一個充要條件。

Let A and B be n \times n idempotent matrices, i.e., A^2 = A and B^2 = B. Show that A - B is idempotent if and only if AB = BA = B.

 
參考解答:

使用下列性質:(1) 若 A^2=A,則 (I-A)^2=I-A,反之亦然。(2) 若 A^2=AB^2=B,則 (A+B)^2=A+B 等價於 AB=BA=0。證明於下:(A+B)^2=A^2+B^2 等價於 AB=-BA。等號兩邊左乘 A 可得 AB=-ABA,右乘 A 可得 ABA=-BA,即得 AB=BA=0

寫出 I-(A-B)=(I-A)+B,性質 (1) 說明 A-B 是冪等矩陣等價於 (I-A)+B 是冪等矩陣,性質 (2) 說明 (I-A)+B 是冪等矩陣等價於 (I-A)B=B(I-A)=0,即 AB=BA=B

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