每週問題 November 7, 2016

若一個 Hermitian 矩陣的主對角元為其特徵值,則此矩陣是對角矩陣。

Let A=[a_{ij}] be an n\times n Hermitian matrix whose eigenvalues, including multiple appearances, are the diagonal elements a_{ii}, i=1,\ldots,n. Prove that A is diagonal.

 
參考解答:

證明 1. 比較由基本對稱函數 (elementary symmetric function) 與主餘子構成的兩種特徵多項式 p(t)=\det(A-tI)(-t)^{n-2} 項係數表達式,

\displaystyle  \sum_{i<j}a_{ii}a_{jj}=\sum_{i<j}\begin{vmatrix}  a_{ii}&a_{ij}\\  a_{ji}&a_{jj}  \end{vmatrix}=\sum_{i<j}(a_{ii}a_{ij}-a_{ij}a_{ji})

可得 \sum_{i<j}a_{ij}a_{ji}=0。但 A 是 Hermitian,上式化約為

\displaystyle  \sum_{i<j}a_{ij}\overline{a_{ij}}=\sum_{i<j}\vert a_{ij}\vert^2=0

因此,a_{ij}=0i\neq j

證明 2. 使用這個性質:若半正定矩陣的一個主對角元等於零,則該列與行的所有元必為零。假設 a_{jj}=\min_{1\le i\le n}a_{ii}。因為 A-a_{jj}I 的特徵值為 a_{ii}-a_{jj}\ge 0i=1,\ldots,n,可知 A-a_{jj}I 是一個半正定矩陣。但 A-a_{jj}I(j,j) 元為零,推得 a_{ij}=a_{ji}=01\le i\le n。繼續對 A-a_{jj}I 重複上述步驟,即可歸納得證。

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3 則回應給 每週問題 November 7, 2016

  1. Meiyue Shao 說:

    我觉得命题中最好讲清楚对角元作为特征值是计重数的,而不能简单理解成每个对角元都是特征值。

  2. Meiyue Shao 說:

    我再提供一种做法,假定 a_{ii}A 的最小对角元,即最小特征值,那么 A-a_{ii}I 半正定,其第 i 行和第 i 列都为零(因为对角元为零),然后就可以归纳了。

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