答DJWS──關於以鏡射變換實現矩陣轉置

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想請教老師一個問題:給定矩陣 A,使用一連串的鏡射變換,變成其轉置 A^T,該如何做呢?

 
答曰:

A 是一個 n\times n 階實矩陣。首先,對於任一矩陣 A,我們知道並不總存在 n\times n 階矩陣 M 滿足 MA=A^T,譬如,A=\begin{bmatrix} 0&0\\ 1&0 \end{bmatrix} (見“答Vahi Chen──關於矩陣的轉置的線性變換表示矩陣”)。令 S_ii=1,\ldots,k,為 n\times n 階鏡射 (reflection) 矩陣。鏡射矩陣 S_i 是實正交 (orthogonal) 矩陣 (見“旋轉與鏡射”),S_i^TS_i=I。兩個鏡射矩陣的乘積也是正交矩陣:

(S_iS_j)^T(S_iS_j)=S_j^TS_i^TS_iS_j=S_j^TIS_j=I

Q=S_k\cdots S_1,即有 Q^TQ=I。假設 QA=A^T,等號兩邊取行列式,

\det(QA)=(\det Q)(\det A)=\det A^T=\det A

A 是可逆的,則 \det Q=1。在此情形下,Q 是一個旋轉矩陣或稱適當的 (proper) 正交矩陣。

 
我們將問題反過來看:給定一個正交矩陣 Q,那些 A 滿足 QA=A^T?等號兩邊取轉置,A^TQ^T=A,右乘 Q 可得 A^T=AQ。因此,QA=AQ=A^T,也就是說 QA 是可交換矩陣且兩矩陣乘積等於 A^T。當 n=2,我們可以找到所有滿足上式的可逆矩陣 A (n>2 的情況比較複雜,在此從略)。若 Q=I_2,則 A^T=A。若 Q=-I_2,則 A^T=-A。底下考慮非平凡情況,Q\neq \pm I_2。令 e^{\pm i\theta}=\cos\theta\pm i\sin\theta (\sin\theta\neq 0i=\sqrt{-1}) 為二階旋轉矩陣 Q 的特徵值,且 \mathbf{u},\overline{\mathbf{u}} 為對應的單位特徵向量 (見“解讀複特徵值”)。注意,\mathbf{u} 是一個 (非實) 複向量。旋轉矩陣是正規 (normal) 矩陣,Q^TQ=QQ^T,故可么正對角化 (見“特殊矩陣 (2):正規矩陣”),如下:

Q=U\begin{bmatrix} e^{i\theta}&0\\ 0&e^{-i\theta}\end{bmatrix}U^\ast

其中 U=\begin{bmatrix} \mathbf{u}& \overline{\mathbf{u}} \end{bmatrix} 是么正 (unitary) 矩陣,滿足 U^\ast=U^{-1}。提醒讀者,Q 是一個實矩陣[1]。利用這個性質 (見“每週問題 September 12, 2016”):若 Q 有相異的特徵值,則 QA=AQ 的一個充要條件為 QA 有相同的特徵向量 (QA 的特徵值不必相同)。因此,A 可么正對角化為

A=U\begin{bmatrix} \lambda_1&0\\ 0&\lambda_2\end{bmatrix}U^\ast

實矩陣 A 有複特徵向量 \mathbf{u}\overline{\mathbf{u}},對應的兩個特徵值必定共軛,\lambda_2=\overline{\lambda_1}。令 \lambda_1=re^{i\phi}\lambda_2=re^{-i\phi},其中 r 為正實數 (若 r=0,則 A=0)。剩下的工作要解出 \phi。寫出 A=rP(\phi),其中 P(\phi)=U\hbox{diag}(e^{i\phi},e^{-i\phi})U^\ast 為轉角等於 \phi 的旋轉矩陣。因此,A^T=rP(\phi)^T=rP(-\phi)。將以上結果代入 QA=A^T,可得

U\begin{bmatrix} re^{i(\theta+\phi)}&0\\ 0&re^{-i(\theta+\phi)}\end{bmatrix}U^\ast=rU\begin{bmatrix} e^{-i\phi}&0\\ 0&e^{i\phi}\end{bmatrix}U^\ast

即有 \theta+\phi=2m\pi-\phi\theta=2(m\pi-\phi)m 是任意整數。

 
回到原來的問題:給定二階實矩陣 A=U\hbox{diag}(re^{i\phi},re^{-i\phi})U^\astU^\ast=U^{-1}r>0,正交矩陣 Q=U\hbox{diag}(e^{i2(m\pi-\phi)},e^{-i2(m\pi-\phi)})U^\ast 可使 QA=A^T。舉一例說明,考慮

\displaystyle A=\left[\!\!\begin{array}{cr} 2&-2\\ 2&2 \end{array}\!\!\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\!\!\begin{array}{rc} 1&1\\ -i&i \end{array}\!\!\right]\begin{bmatrix} 1+i&0\\ 0&1-i \end{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\!\!\begin{array}{cr} 1&i\\ 1&-i \end{array}\!\!\right]

\phi=\pi/4。設 \theta=3\pi/2 (m=1),可得

\displaystyle Q=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\!\!\begin{array}{rc} 1&1\\ -i&i \end{array}\!\!\right]\left[\!\!\begin{array}{rc} -i&0\\ 0&i \end{array}\!\!\right]\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\!\!\begin{array}{cr} 1&i\\ 1&-i \end{array}\!\!\right]=\left[\!\!\begin{array}{rc} 0&1\\ -1&0 \end{array}\!\!\right]

最後再將旋轉矩陣 Q 表示為兩個鏡射矩陣的乘積即可 (見“旋轉與鏡射”)。

註解

[1] 寫出

Q=\begin{bmatrix} \mathbf{u}&\overline{\mathbf{u}} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e^{i\theta}&0\\ 0&e^{-i\theta} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \overline{\mathbf{u}}^T\\ {\mathbf{u}}^T \end{bmatrix}=e^{i\theta}\mathbf{u}\overline{\mathbf{u}}^T+e^{-i\theta}\overline{\mathbf{u}}{\mathbf{u}}^T

因此

\overline{Q}=\overline{e^{i\theta}\mathbf{u}\overline{\mathbf{u}}^T+e^{-i\theta}\overline{\mathbf{u}}{\mathbf{u}}^T}=e^{-i\theta}\overline{\mathbf{u}}{\mathbf{u}}^T+e^{i\theta}\mathbf{u}\overline{\mathbf{u}}^T=Q

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