每週問題 November 28, 2016

證明半正定矩陣的倒數矩陣為半正定的一個充要條件。

Let A=[a_{ij}] be an n\times n Hermitian and positive semidefinite matrix and B=[b_{ij}] with the property b_{ij}=1/a_{ij}. Show that B is positive semidefinite if and only if \hbox{rank}A=1.

 
參考解答:

題意表明 A=[a_{ij}] 不包含零元。假設 AB 都是 Hermitian 半正定矩陣。將 A 表示為 A=P^\ast P。設 \mathbf{p}_1,\ldots,\mathbf{p}_nP 的行向量 (column vector),就有 a_{ij}=\mathbf{p}_i^\ast\mathbf{p}_j。半正定矩陣的所有主子陣的行列式值皆不小於零,因此對於任意 i,j

\displaystyle  \begin{vmatrix}  a_{ii}&a_{ij}\\  a_{ji}&a_{jj}  \end{vmatrix}=a_{ii}a_{jj}-a_{ij}\overline{a}_{ij}=\Vert\mathbf{p}_i\Vert^2\Vert\mathbf{p}_j\Vert^2-\vert\mathbf{p}_i^\ast\mathbf{p}_j\vert^2\ge 0

同樣地,

\displaystyle  \begin{vmatrix}  b_{ii}&b_{ij}\\  b_{ji}&b_{jj}  \end{vmatrix}=(a_{ii}a_{jj})^{-1}-(a_{ij}\overline{a}_{ij})^{-1}=\Vert\mathbf{p}_i\Vert^{-2}\Vert\mathbf{p}_j\Vert^{-2}-\vert\mathbf{p}_i^\ast\mathbf{p}_j\vert^{-2}\ge 0

上面兩個條件式僅當等號成立時方可同時滿足,即 \Vert\mathbf{p}_i\Vert\Vert\mathbf{p}_j\Vert=\vert\mathbf{p}_i^\ast\mathbf{p}_j\vert。Schwartz 不等式的等號成立的充要條件為 \mathbf{p}_i\mathbf{p}_j 是線性相關的,推論 \hbox{rank}A=\hbox{rank}(P^\ast P)=\hbox{rank}P=1

假設 \hbox{rank}A=1,寫出 A=\mathbf{v}\mathbf{v}^\ast,即 a_{ij}=v_i\overline{v}_j。對於任一向量 \mathbf{x}\in\mathbb{C}^n

\displaystyle  \begin{aligned}  \mathbf{x}^\ast B\mathbf{x}&=  \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\overline{x}_ia_{ij}^{-1}x_j=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{\overline{x}_ix_j}{v_i\overline{v}_j}\\  &=\left(\sum_{i=1}^n\frac{\overline{x}_i}{v_i}\right)\overline{\left(\sum_{j=1}^n\frac{\overline{x}_j}{{v_j}}\right)}=\left|\sum_{i=1}^n\frac{\overline{x}_i}{v_i}\right|^2\ge 0.  \end{aligned}

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