每週問題 December 12 , 2016

這是關於半幻方 (semi-magic) 矩陣的分解式問題。

An $n\times n$ matrix is said to be a semi-magic matrix if the sums of the rows and columns are all equal. Show that a semi-magic matrix $A$ can be decomposed as $A=B+C$ such that for integer $k\ge 1$ ,

$A^k=B^k+C^k$ .

參考解答：

設 $B=A$ 且 $C=0$ 即有平凡分解式。底下考慮非平凡分解式。假設 $n\times n$ 階半幻方矩陣 $A=[a_{ij}]$ 滿足 $\sum_{i=1}^na_{ij}=\sum_{j=1}^na_{ij}=s$ ， $1\le i,j\le n$ 。令 $n\times n$ 階矩陣 $E$ 的所有元皆為 $1$ 。因此， $EA=AE=sE$ 且 $E^2=nE$ 。令

$\displaystyle B=\frac{s}{n}E,~~C=A-\frac{s}{n}E$ 。

使用上面的關係式，

$\displaystyle BC=\left(\frac{s}{n}E\right)\left(A-\frac{s}{n}E\right)=\frac{s}{n}EA-\frac{s^2}{n^2}E^2=\frac{s}{n}(sE)-\frac{s^2}{n^2}(nE)=0$ 。

同樣地， $CB=0$ 。利用歸納法即可證明 $A^k=(B+C)^k=B^k+C^k$ ， $k\ge 1$ 。

附註：若 $s=0$ ，上述建構法給出 $B=0$ 且 $C=A$ ；若 $A=E$ ，則 $B=A$ 且 $C=0$ 。在這兩種情況下，我不確定是否存在非平凡分解式。

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