每週問題 December 19, 2016

線性相關的向量集的一道線性組合問題。

Let \mathcal{V} be a vector space, \dim\mathcal{V}=n, and let \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_m\in\mathcal{V}. Prove that if m\ge n+2, then there exist scalars c_1,\ldots,c_m not all of them equal to zero such that \sum_{i=1}^mc_i\mathbf{x}_i=\mathbf{0} and \sum_{i=1}^mc_i=0.

 
參考解答:

證明 1. 在不失一般性的原則下,假設 \mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_k 形成 \hbox{span}\{\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_m\} 的一組基底,k\le n。分開三種情況討論。

(1) 若 \mathbf{x}_{k+1}=\mathbf{0}\mathbf{x}_{k+2}=\mathbf{0},則 \mathbf{x}_{k+1}-\mathbf{x}_{k+2}=\mathbf{0},如此便得證。

(2) 若 \mathbf{x}_{k+1}\neq\mathbf{0}\mathbf{x}_{k+2}=\mathbf{0},存在不全為零的數組 a_1,\ldots,a_k 使得

a_1\mathbf{x}_1+\cdots+a_k\mathbf{x}_k+\mathbf{x}_{k+1}=\mathbf{0}

寫出下式即得證:

\displaystyle a_1\mathbf{x}_1+\cdots+a_k\mathbf{x}_k+\mathbf{x}_{k+1}-\left(\sum_{i=1}^ka_i+1\right)\mathbf{x}_{k+2}=\mathbf{0}

(3) 若 \mathbf{x}_{k+1}\neq\mathbf{0}\mathbf{x}_{k+2}\neq\mathbf{0},存在不全為零的數組 a_1,\ldots,a_kb_1,\ldots,b_k 使得

\begin{aligned} a_1\mathbf{x}_1+\cdots+a_k\mathbf{x}_k+\mathbf{x}_{k+1}&=\mathbf{0}\\ b_1\mathbf{x}_1+\cdots+b_k\mathbf{x}_k+\mathbf{x}_{k+2}&=\mathbf{0}.\end{aligned}

\sum_{i=1}^ka_i+1=0\sum_{i=1}^kb_i+1=0,我們便得到所求。若 \sum_{i=1}^ka_i+1\neq 0\sum_{i=1}^kb_i+1\neq 0,則

\begin{aligned} \mathbf{0}&=\left(\sum_{i=1}^kb_i+1\right)(a_1\mathbf{x}_1+\cdots+a_k\mathbf{x}_k+\mathbf{x}_{k+1})-\left(\sum_{i=1}^ka_i+1\right)(b_1\mathbf{x}_1+\cdots+b_k\mathbf{x}_k+\mathbf{x}_{k+2})\\ &=\left(\left(\sum_{i=1}^kb_i+1\right)a_1-\left(\sum_{i=1}^ka_i+1\right)b_1\right)\mathbf{x}_1+\cdots\\ &~~~~+\left(\left(\sum_{i=1}^kb_i+1\right)a_k-\left(\sum_{i=1}^ka_i+1\right)b_k\right)\mathbf{x}_k\\ &~~~~+\left(\sum_{i=1}^kb_i+1\right)\mathbf{x}_{k+1}-\left(\sum_{i=1}^ka_i+1\right)\mathbf{x}_{k+2}, \end{aligned}

其中係數之和為

\begin{aligned} &\left(\left(\sum_{i=1}^kb_i+1\right)a_1-\left(\sum_{i=1}^ka_i+1\right)b_1\right)+\cdots+\left(\left(\sum_{i=1}^kb_i+1\right)a_k-\left(\sum_{i=1}^ka_i+1\right)b_k\right)\\ &+\left(\sum_{i=1}^kb_i+1\right)-\left(\sum_{i=1}^ka_i+1\right)\\ &=\left(\sum_{i=1}^kb_i+1\right)\sum_{j=1}^ka_j-\left(\sum_{i=1}^ka_i+1\right)\sum_{j=1}^kb_j+\sum_{i=1}^kb_i-\sum_{i=1}^ka_i=0. \end{aligned}

 
證明 2. 令 \boldsymbol{\beta} 是向量空間 \mathcal{V} 的一組基底且 [\mathbf{x}]_{\boldsymbol{\beta}} 表示 \mathbf{x}\in\mathcal{V} 參考基底 \boldsymbol{\beta}n 維座標向量。因此,\sum_{i=1}^mc_i\mathbf{x}_i=\mathbf{0} 可用座標向量表示為 \sum_{i=1}^mc_i[\mathbf{x}_i]_{\boldsymbol{\beta}}=\mathbf{0},再與 \sum_{i=1}^mc_i=0 合併為下列齊次方程式:

\begin{bmatrix} [\mathbf{x}_1]_{\boldsymbol{\beta}}&\cdots&[\mathbf{x}_m]_{\boldsymbol{\beta}}\\ 1&\cdots&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_1\\ \vdots\\ c_m \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{0}\\ 0 \end{bmatrix}

其中係數矩陣是 (n+1)\times m 階。但 m\ge n+2,因此這個齊次方程必有非零解。

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1 則回應給 每週問題 December 19, 2016

  1. Meiyue Shao 說:

    比较快捷的做法是取V的一组基,把x_i用基下的坐标表示,然后得到关于c_i的n+1个齐次方程,必定有非零解。

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