每週問題 December 26, 2016

證明一個特殊非負矩陣的逆矩陣也是非負矩陣。

Let A be an n\times n real matrix. Show that A and A^{-1} have all elements nonnegative if and only if each row and each column of A has exactly one positive element and the rest of the elements are zeros.

 
參考解答:

假設 n\times n 階非負矩陣 A=[a_{ij}] 的每一列與每一行僅有一個元為正數,其餘所有元為零。令 B=[b_{ij}] 滿足 b_{ij}=0a_{ji}=0b_{ij}=1/a_{ji}a_{ji}\neq 0。明顯地,AB=I,證明 A^{-1}=B 是一個非負矩陣。

假設 AB 為非負矩陣使得 AB=I。使用反證法,假設 A 有一列包含兩個或兩個以上的正元。設 a_{ip}>0a_{iq}>0p\neq q。若 j\neq i,則

\displaystyle  0=(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}=a_{ip}b_{pj}+a_{iq}b_{qj}

因此,b_{pj}=b_{qj}=0j\neq i。換句話說,B 的第 p(0,\ldots,b_{pi},\ldots,0) 與第 q(0,\ldots,b_{qi},\ldots,0) 是線性相關的,即 B 是不可逆矩陣,我們得到一個矛盾。同樣地,若 A 有一行包含兩個或兩個以上的正元,也會得到矛盾。

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1 則回應給 每週問題 December 26, 2016

  1. Lin 說:

    感觉上和permutation matrix的性质好像啊!permutation matrix A满足每一个行每一个列仅有一个元素为1,其余元素都为0。A的逆矩阵等于A的转置矩阵。

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