每週問題 December 26, 2016

證明一個特殊非負矩陣的逆矩陣也是非負矩陣。

Let $A$ be an $n\times n$ real matrix. Show that $A$ and $A^{-1}$ have all elements nonnegative if and only if each row and each column of $A$ has exactly one positive element and the rest of the elements are zeros.

參考解答：

假設 $n\times n$ 階非負矩陣 $A=[a_{ij}]$ 的每一列與每一行僅有一個元為正數，其餘所有元為零。令 $B=[b_{ij}]$ 滿足 $b_{ij}=0$ 若 $a_{ji}=0$ ， $b_{ij}=1/a_{ji}$ 若 $a_{ji}\neq 0$ 。明顯地， $AB=I$ ，證明 $A^{-1}=B$ 是一個非負矩陣。

假設 $A$ 與 $B$ 為非負矩陣使得 $AB=I$ 。使用反證法，假設 $A$ 有一列包含兩個或兩個以上的正元。設 $a_{ip}>0$ 且 $a_{iq}>0$ ， $p\neq q$ 。若 $j\neq i$ ，則

$\displaystyle 0=(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}=a_{ip}b_{pj}+a_{iq}b_{qj}$ 。

因此， $b_{pj}=b_{qj}=0$ ， $j\neq i$ 。換句話說， $B$ 的第 $p$ 列 $(0,\ldots,b_{pi},\ldots,0)$ 與第 $q$ 列 $(0,\ldots,b_{qi},\ldots,0)$ 是線性相關的，即 $B$ 是不可逆矩陣，我們得到一個矛盾。同樣地，若 $A$ 有一行包含兩個或兩個以上的正元，也會得到矛盾。

1 Response to 每週問題 December 26, 2016

Lin says:

12/27/2016 at 7:29 pm

感觉上和permutation matrix的性质好像啊！permutation matrix A满足每一个行每一个列仅有一个元素为1，其余元素都为0。A的逆矩阵等于A的转置矩阵。

	陳倍恩 on 線性代數的第一堂課──矩陣乘法的定義
	輕鬆談如何教學二項式定理？… on 牛頓的二項式定理 (上)
	madhouse on 高斯消去法
	WishMobile on 翻轉 LU 分解
	周子傑 on Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 條件
	Cloud Huang on 線性泛函與伴隨